§ 12. Сокращенное умножение по формулам.
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский. Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики. Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Купить книги по математике за низкие цены:
Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙАЛГЕБРА
При умножении многочленов часто повторяются некоторые типичные случаи, которые следует запомнить. Формула 1. (А + Я)2 = А2 + 2AZ? + В2, т* е* квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа. До к а а а т е А ь с т в р . ^ — (А + Bf = (£-£ ВЦА 4-А*Ц*ЛВ + ВА + В* = = А2 + 2Л£ + 52. * . Формула 2. (Л — В)2 — А2 — 2AB-j-В*, т. е. квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа. Д о к а з а т е л ь с т в о . -^2 + 1 ’\-2хъ-\-2х*-\-2х= = х*-\-2х3 + Зх* + 2х-\-1. Здесь применена формула 8. Пример. (2а — b)(2a-\-bf. Решение. Решим этот пример тремя способами: Способ 1. ‘ (2 а — Ь) (2а ->- bf = (2а Ь) (4а* 4
4а6 4- Ь*) = z=8a3 + 8a*b-j-2ab* — 4a2b — 4ab* — bB = 8a3-(-4a*b — 2ab* — b3. Здесь мы сначала преобразовали (2а ^bf как квадрат суммы, а затем умножили многочлены по общему правилу умножения многочлена на многочлен. Способ 2. (2а — Ь) (2а 4“ bf — (2а — Ь) (4а2 4“ 4ай &%)= = (2а — Ь) (4а*4- 2а& 4- 6*4- 2аЪ) = 8а3 — Ъ3 4- 4а26 — 2аЬ\ Здесь мы разбили квадрат суммы 4а94
4д^“Ь^ на «неполный квадрат суммы» 4a24-2a6-j”^a и одночлен 2ab, а затем воспользовались распределительным законом и формулой 7. Способ 3. (2a — b)(2a-\-bf = (2a—b)(2a + b) • (2a4>6) = — (4аз _ £ 2) (2а + й) = 8а3 + 4а26 — 2а£* — Ъ\ В заключение обзора формул сделаем следующее общее замечание. Всякое преобразование произведения многочленов, которое совершается при помощи формул 1—8, может быть проведено и без применения формул, посредством общих правил умножения многочлена на многочлен. Формулы 1-—8 позволяют только в некоторых случаях упростить и сократить, вычисления. Поэтому, формулы 1—8 называют формулами сокращенного умножения.
93 Сокращенное умножение по формулам.
, Упражнения Выполнить умножение многочленов при помощи формул: 1. (3ab — х2) (ЗаЬ + *3). 5. (3*—2у) (9х2 + §ХУ + 4У1). . 2. (* — 1) (х + 1) (.х3 + 1). 6. (2х + I)8. 3. (а + 6)3 (а — 6)2. (Решить . 7. (— а — £)2. двумя способами.) 8. (х3 + 2л—1)а. 4. (а2 + Зад + Ь2) (а9 — ЗаЬ + Ъ3). Решить относительно буквы лг следующие уравнения: 9. (a -f* Ь) х = я2— Ь2, 12. (а8 — 868): х = д — 26. 10. (За2 — 26)* = 9a4 — 63. 13. *:(Зр + а) = 9р3 — 3pq + q\ 11. (2/7 -(- 3^) х = 4р3 + 12да + 9^8.