Параллельность прямых, прямой и плоскости и параллельность плоскостей в пространстве

Помнишь, на плоскости была тема «Параллельные прямые»?

Так вот, в пространстве тоже бывают параллельные прямые.

Но… всё немного иначе.

А еще есть параллельность плоскостей – очень важная штука в стереометрии.

Умея с ней работать, становится легче находить углы и значения величин в задачах, выполнять правильные построения.

Читай статью и будешь знать о параллельности плоскостей все!

Параллельность прямых в пространстве

Прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Обрати внимание! Здесь очень важны слова «лежат в одной плоскости».

Потому что в пространстве бывают другие, НЕ параллельные прямые, которые тоже НЕ пересекаются. Вот, например, такие:

Видишь, через прямые \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\) никак нельзя провести плоскость, но они и не пересекаются.

Такие прямые называются скрещивающиеся.

Не пересекающиеся! И не параллельные!

Прямые в пространстве параллельны, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей.

Пусть плоскости \( \displaystyle ABDC\) и \( \displaystyle CDFE\).

\( \displaystyle AB\parallel EF\), значит, \( \displaystyle AB\parallel CD\) по признаку параллельности прямых в пространстве.

Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость параллельны, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.

Вот так: видишь, прямая как бы «висит» над плоскостью.

И представь себе, существует признак параллельности прямой и плоскости. Давай его сформулируем.

Прямая \(\displaystyle a \) параллельна плоскости \(\displaystyle \alpha \), если в этой плоскости есть (хоть одна!) прямая \(\displaystyle b \), параллельная \(\displaystyle a \).

Можно сказать и немного другими словами, но смысл остаётся тот же.

Если прямая \(\displaystyle a \) параллельна прямой \(\displaystyle b\), лежащей в плоскости \(\displaystyle \alpha\), то прямая \(\displaystyle a \) параллельна и всей плоскости \(\displaystyle \alpha \).

Пусть \(\displaystyle SABCD\) – правильная 4 — угольная пирамида.

Тогда, например, \(\displaystyle AB \parallel SCD\). Почему? Но ведь \(\displaystyle AB \parallel CD\), а \(\displaystyle CD \) лежит в плоскости \(\displaystyle SCD\).

Значит (по признаку) \(\displaystyle AB \parallel SCD\).

Параллельность плоскостей

Плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их не продолжали

И так же, как для прямой и плоскости, есть признак параллельности плоскостей. Его формулировка немного длиннее.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Ух, ну и название! О чём же мы?

А вот ты задумайся над вопросом: правда ли, что если прямая \( \displaystyle a \) параллельна прямой \( \displaystyle b\), a \( \displaystyle b \parallel c\), то \( \displaystyle a \parallel c\)?

И есть ответ: правда! И как раз такой перенос с “\( \displaystyle a\)” через “\( \displaystyle b\)” на “\( \displaystyle c\)” и называется «транзитивность».

Давай-ка теперь рассмотрим несколько вариантов в буквах и картинках:

\( \displaystyle a \parallel b\) и \( \displaystyle b \parallel c \Rightarrow a \parallel c\).

\( \displaystyle \alpha \parallel \beta\) и \( \displaystyle \beta \parallel \gamma \Rightarrow \alpha \parallel \gamma\).

\( \displaystyle a\parallel \alpha\quad\) и \( \displaystyle \quad \alpha\parallel \beta\Rightarrow a\parallel \beta\).

\( \displaystyle \alpha \parallel b\quad\) и \( \displaystyle\quad b\parallel \alpha \Rightarrow text\parallel \alpha \)

И один неверный вариант:

\( \displaystyle a\parallel \alpha \) и \( \displaystyle \alpha \parallel b\) \( \displaystyle НЕ \Rightarrow \) \( \displaystyle a\parallel b\).

Ну вот, мы обсудили определения и признаки параллельности прямых и плоскостей и даже немножко порисовали транзитивности. Давай теперь рассмотрим несколько примеров.

Пример на признак параллельности плоскостей

Пусть в пирамиде \( \displaystyle SABC\) проведена плоскость \( \displaystyle MNK\) через середины рёбер \( \displaystyle SA\), \( \displaystyle SB\) и \( \displaystyle SC\).

Тогда \( \displaystyle MNK\parallel ABC\). Почему?

Да просто \( \displaystyle MN\parallel AB\) (средняя линия), \( \displaystyle NK\parallel BC\) (тоже средняя линия, но в \( \displaystyle \Delta SBC\)).

Значит, получилось, что \( \displaystyle MN\) и \( \displaystyle NK\) – пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны \( \displaystyle AB\) и \( \displaystyle BC\) – пересекающимся прямым в другой плоскости – работает признак \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle MNK\parallel ABC\).