Вступительный по математике в МФТИ
В данной статье разобран пример вступительного экзамена по математике в МФТИ (бакалавриат). Если вас интересует разбор вступительного экзамена по физике, вы можете найти его на этой странице. Все решения выполнены профессиональным репетитором по математике и физике, осуществляющим подготовку абитуриентов к вступительным экзаменам в МФТИ (ФизТех).
Разбор вступительного экзамена по математике в МФТИ
Используем формулу «синус двойного угла»:
Переносим слагаемые, находящиеся справа от знака равенства, в левую сторону, меняя при этом их знак на противоположный, и выносим за скобки:
Преобразуем теперь выражение, стоящее в скобках, используя формулу «косинус двойного угла»:
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. То есть возможны два случая:
Умножим обе части последнего уравнения на и введём замену :
Примечание. Последнее уравнение является квадратным и решается по стандартному алгоритму с помощью дискриминанта.
Возвращаемся к исходной переменной. Получаем, что либо (это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как ), либо . Из последнего уравнения получаем .
Преобразуем выражение с суммой кубов:
В скобках заменим член на разность . От этого равенство не нарушится. В результате получим:
Итак, исходную систему можно представить в следующем виде:
Теперь используем замену: и . Тогда система принимает вид:
Теперь складываем почленно оба уравнения и приходим к следующему уравнению:
Корень этого уравнения угадывается автоматически: . Других корней не будет, так как справа стоит возрастающая функция, поскольку она является суммой возрастающих функций, поэтому нулевое значение она может принимать только при каком-то одном значении .
Итак, , значит . Возвращаясь к исходным переменным, получаем следующую систему:
В результате приходим к окончательному ответу: и .
3. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку с координатами , касающейся графика функции и пересекающей в двух различных точках график функции .
В общем виде уравнение прямой может быть записано следующим образом: . Известно, что эта прямая проходит через точку , то есть имеет место равенство:
Кроме того, прямая касается графика функции . Значит уравнение
должно иметь ровно один корень. Введём замену . Тогда последнее условие эквивалентно тому, что дискриминант квадратного уравнения
равен нулю, и корень при этом неотрицателен. То есть получаем:
Таким образом с учётом уравнения (1) приходим к следующей системе:
Решая эту систему методом подстановки, получаем следующие результаты: ( и ) или ( и ). При и уравнение (2) имеет один неотрицательный корень . При и уравнение (2) имеет один неотрицательный корень .
То есть из двух прямых и нужно выбрать такую, которая пересекает график функции в двух различных точках.
- Решаем сперва уравнение:
Дискриминант последнего уравнения положителен. Значит, оно имеет два различных корня. Этот случай нам подходит.
- Решаем теперь уравнение:
Дискриминант этого уравнения равен нулю. Значит, решение в этом случае будет одно. Этот случай нам не подходит.
Примечание. Для наглядности изобразим ситуацию на графике, хотя делать это необязательно, поскольку в задании этого не требуют:
4. Хорда окружности, удалённая от центра на расстояние 15, разбивает окружность на два сегмента, в каждый из которых вписан квадрат. Найдите разность сторон этих квадратов.
Пусть радиус окружности равен . Рассмотрим прямоугольные треугольники OMR и ODP. С учётом введённых на рисунке обозначений распишем теорему Пифагора для этих треугольников:
Вычтем почленно второе уравнение из первого:
Преобразуем полученное выражение, используя формулу «разность квадратов»:
Поделим обе части этого уравнения на и обозначит разность за . В результате приходим к следующему уравнению:
Искомая разность сторон квадратов в наших обозначениях будет равна .
Введём замену: . Тогда неравенство принимает вид:
Теперь, используя стандартные свойства логарифмов, представим логарифмическое выражение слева от знака неравенства следующим образом:
Введём ещё одну замену: . Тогда после умножения обеих частей неравенства на положительное число неравенство принимает вид:
Последовательно возвращаемся к исходной переменной :
Окончательно получаем следующий ответ:
6. В две бочки были налиты растворы соли, причём в первую бочку было налито 16 кг, а во вторую — 25 кг. Оба раствора разбавили водой так, что процентное содержание соли уменьшилось в раз в первой бочке и в раз во второй. О числах и известно, что . Найдите наименьшее количество воды, которое могло быть долито в обе бочки вместе.
Пусть в первую бочку долили кг воды, а во вторую — кг. Пусть в первой бочке находится кг, а во второй кг соли.
Тогда изначально в первой бочке процентное содержание соли составляло:
а после доливания воды оно стало равно:
Аналогично, во второй бочке изначально процентное содержание соли составляло:
а после доливания воды оно стало равно:
Тогда справедливы равенства:
Из уравнения (3) выражаем , из уравнения (4) выражаем , а из уравнения выражаем . Мы ищем минимальное значение суммы . Проще всего найти его, используя неравенство Коши:
Итак, наименьшее количество воды, которое могло быть долито в обе бочки вместе равно 80 кг.
Этот случай реализуется при , когда неравенство Коши преобразуется в равенство. То есть при . Подставляя это в выражение , получаем после преобразований, что . Отрицательный корень мы в расчёт не берём.
7. Вершина прямого угла C прямоугольного треугольника ABC расположена на диаметре окружности, параллельном хорде AB. Найдите площадь треугольника ABC, если ∠BAC = 75°, а радиус окружности равен 10.
Выполним следующие дополнительные построения:
- проведём высоту OD к хорде AB. Тогда D — середина AB, так как OD — высота и медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника AOB;
- проведём отрезок CD. Он является медианой прямоугольного треугольника ACB, проведённой из вершины прямого угла. Значит, CD = AD = BD.
Переходим к решению:
- сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Значит, ∠CBA = 15°;
- так как CD = BD, то треугольник CDB — равнобедренный и ∠CBD = ∠DCB = 15°;
- ∠CBD = ∠BCO = 15°, поскольку они являются накрест лежащими при параллельных прямых и секущей. Значит, ∠DСO = 30°;
- значит, в прямоугольном треугольнике COD против угла в 30° лежит катет OD, который равен половине гипотенузы CD. Пусть DO = x, а CD = AD = DB = 2x;
- из теоремы Пифагора для треугольника ODB получаем, что , то есть ;
- тогда искомая площадь треугольника ABC равна половине произведения его высоты, проведённой к стороне AB, которая по длине равна x, на основание AB, которое по длине равно 4x. То есть искомая площадь равна .
Преобразуем данное неравенство, раскрыв в нём скобки и использовав основное тригонометрическое тождество. В результате после всех преобразований получаем следующее неравенство:
Ведём замену , причём . Тогда получим следующее неравенство:
Задача свелась к тому, чтобы найти все значения параметра , при котором последнее неравенство выполняется при всех .
Для решения этой задачи представим последнее неравенство в виде:
Легко видеть, что при любых значениях , так как дискриминант соответствующего квадратного уравнения отрицателен, и ветви соответствующей параболы направлены вверх. Поэтому мы можем разделить обе части последнего неравенства на положительное выражение , при этом знак неравенства не поменяется:
Исследуем функцию на возрастание. Для этого определим при каких значениях её производная положительна:
Так как , а , то на промежутке данная функция возрастает. Поэтому неравенство (5) будет выполняться при любом при условии, что , то есть .
Подготовка к вступительному экзамену по математике в МФТИ
Если вам требуется подготовка к вступительному экзамену по математике в МФТИ, обращайтесь к опытному профессиональному репетитору в Москве Сергею Валерьевичу. Возможны как очные, так и удаленный занятия через интернет с использованием интерактивной доски. Как показывает практика, в условиях ограниченности во времени именно занятия с репетитором обеспечивают наиболее эффективную подготовку к вступительным экзаменам. Подробную информацию о занятиях с репетитором вы можете найти на этой странице. Успехов вам в подготовке к экзаменам!