Сакович А.Л. Точки равного потенциала

Рассмотрим способы нахождения точек одинакового потенциала более подробно. Пусть нам дана электрическая цепь, состоящая из сопротивлений R1, R2, …, R8 (рис. 1 а). Проведем через точки подключения цепи прямую АВ (рис. 1 б).

1 способ. Если схема содержит проводники с одинаковым сопротивлением, расположенные симметрично относительно определенной оси или плоскости, то концы этих проводников имеют одинаковый потенциал. При этом точки будут симметричными относительно прямой АВ, если равны сопротивления участков цепи между данными точками и любыми точками этой прямой.

Используя этой признак, можно сделать вывод, что точки С1 и С2 (рис. 1 б) будут симметричны относительно прямой АВ, если R1 = R2 (сопротивления между точкой А и С1 и между точкой А и С2 равны) и R5 = R6 (сопротивления между точкой В и С1 и между точкой В и С2 равны). Аналогично, точки С3 и С4 будут симметричны относительно прямой АВ, если R3 = R4 и R7 = R8.

2 способ. Точки имеют одинаковый потенциал, если равны отношения сопротивлений между данными точками и точками подключения.

Например, точки С1 и С2 (рис. 1 а) имеют одинаковый потенциал, если . Аналогично, точки С3 и С4 имеют одинаковый потенциал, если .

Покажем на примерах, как можно использовать эти способы для преобразования электрических цепей.

Метод объединения равнопотенциальных узлов:точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы.

а) Если провести через точки подключения прямую АВ (рис. 3 а), то равны сопротивления участков АС1 и АС2 (R1 = R3), и равны сопротивления участков ВС1 и ВС2 (R2 = R4). Следовательно, точки С1 и С2 симметричны относительно прямой АВ и имеют равные потенциалы.

Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 3, б). Резисторы R1 и R3 соединены параллельно, и резисторы R2 и R4 – параллельно, участки 1/3 и 2/4 последовательно. Следовательно,

б) Если провести прямую АВ (рис. 3 а), то сопротивления участков АС1 и АС2 не равны , следовательно, точки С1 и С2 не симметричны относительно прямой АВ. НО точки С1 и С2имеют равные потенциалы, т.к. .

Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 3 б). Резисторы R1 и R3 соединены параллельно, и резисторы R2 и R4 – параллельно, участки 1/3 и 2/4 последовательно. Следовательно,

Пример 2. Найдите сопротивление проволочного куба между точками А1 и В3 (рис. 4). Сопротивление каждого ребра R0.

Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 6). Три резистора R0 соединены параллельно между точками А1 и А2 (В1, А4), шесть резисторов R0 – параллельно между точками А2 (В1, А4) и А3 (В2, В4), три резистора R0 – параллельно между точками А3 (В2, В4) и В3, участки между этими точками соединены последовательно. Следовательно,

Пример 3. Найдите сопротивление проволочного куба между точками А1 и В2 (рис. 4). Сопротивление каждого ребра R0.

Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 7 б). Используя рекуррентный метод, схему можно упростить (рис. 7 в или г).

Точки А2 и В4имеют равные потенциалы, т.к. . Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 7 д). Резисторы на участке А1А2 соединены параллельно, и резисторы на участке А2В2 – параллельно, а эти участки соединены последовательно. Следовательно,

Если возможно объединение двух равнопотенциальных узлов, то возможен и обратный переход.

Метод разделения узлов: узел схемы можно разделить на два или несколько узлов, если получившиеся при этом узлы имеют одинаковые потенциалы.

Обязательным условием при этом является проверка получившихся при разделении узлов на равенство потенциалов (симметричность или пропорциональность сопротивлений).

Пример 4. Найдите сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис. 8) сопротивлением R0 каждый.

Разделим узел в середине каркаса на два узла О1 и О2 так, как показано на рис. 9 а. Это можно сделать, так как точки О1 и О2 имеют равные потенциалы: равны сопротивления участков AO1, AO2, и равны сопротивления участков BO1, BO2. Перерисуем схему в стандартный вид (рис. 9 б). Используя рекуррентный метод, схему можно упростить (рис. 9 в), т.к. сопротивление участка C1F1 равно , аналогично . Тогда общее сопротивление цепи равно .

Обратите внимание. С точки зрения геометрии точки О3 и О4 симметричны относительно прямой а (рис. 9 г), но потенциалы этих точек не равны, т.к. сопротивления участков АО3 и АО4 не равны, а отношения сопротивлений участков АО3 и АО4 не равны отношению сопротивлений участков ВО3 и ВО4.

Пример 5. Найти сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис. 10) сопротивлением R0 каждый.

Разделим узел в середине каркаса на три узла О1, О2 и О3 так, как показано на рис. 11 а. Это можно сделать, так как точки О1, О2 и О3 имеют равные потенциалы: равны сопротивления участков AO1 и BO1, участков AO2 и BO2, и участков AO3 и BO3, следовательно, отношения сопротивления этих участков равны.

Перерисуем схему в стандартный вид (рис. 11, б). Используя рекуррентный метод, схему можно упростить (рис. 11 в), т.к. сопротивление участка C1F1 равно , аналогично , сопротивление . Тогда общее сопротивление цепи равно