11. Расчёт сложных схем по уравнениям Кирхгофа.

Предположим, перед нами стоит задача по расчету сложной электрической цепи, состоящей из k узлов, l ветвей и m идеальных источников тока (под идеальным источником тока подразумевается такой источник тока, для которого Rт равен бесконечности). Суть метода сводится к решению системы линейных уравнений c l неизвестными. В качестве неизвестных выступают токи ветвей. Решив такую систему мы получим значения токов во всех ветвях электрической цепи, зная которые очень просто рассчитать все другие параметры цепи (напряжения на отдельных элементах, мощность и т.д.)

Перед началом расчета будет нелишним, по возможности, упростить электрическую схему с целью уменьшения количества ветвей. Это может существенно упростить расчеты и уменьшить вероятность ошибки. Например, решение системы линейных уравнений с 4 неизвестными гораздо проще решения системы с 5 неизвестными.

Порядок расчета цепей, связанный с использованием законов Кирхгофа следующий:

Выбирают положительные направления токов в ветвях электрической цепи.

Составляют (k-1) независимых уравнений по первому закону Кирхгофа. Уравнения составленные по первому закону Кирхгофа гораздо проще уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Поэтому их составляют максимально возможное количество.

Выбирают (l-k+1-m) независимых контуров электрической цепи. Контуры необходимо выбирать так, чтобы в них вошли все ветви схемы. Контуры взаимно независимы, если каждый последующий выбираемый контур содержит не менее одной новой ветви.

Для каждого из выбранных независимых контуров выбирают направления обхода и составляют уравнение по второму закону Кирхгофа.

Решают систему из (l-m) линейных уравнений любым удобным способом.

На рисунке изображена схема сложной электрической цепи, содержащей 4 узла и 6 ветвей (k=4, l=6). Для расчета цепи необходимо составить систему из 6 линейных уравнений. Предварительно выберем направления токов в каждой из ветвей. По первому закону Кирхгофа составляем 3 уравнения (k-1=4-1=3), например для узлов A, B и C. Вместо любого из этих узлов для составления уравнения можно взять узел D, на результат расчетов это не повлияет. Оставшиеся 3 уравнения (l-k+1-m=6-4+1-0=3) придется составлять по второму закону Кирхгофа ( )

Подставляем известные значения

Решаем получившуюся систему.

Получаем ответы в матричном виде.

12. Метод контурных токов.

Теоретические сведения.

В данном методе расчета полагают, что в каждом контуре протекает свой контурный ток. Контурные токи и принимают за неизвестные, находят их, и уже затем через контурные токи определяют токи в ветвях. Чтобы сократить количество неизвестных, источник тока включают в контур, но только в один. Ток данного контура считают известным и равным току источника. Если в схеме несколько источников тока, количество неизвестных можно существенно сократить, включая источники в разные контура. В таких схемах применение этого метода наиболее рационально. Число неизвестных в данном методе равно количеству уравнений, которые необходимо было бы составить по второму закону Кирхгофа для данной схемы. Уравнения составляют только для контуров, не содержащих источников тока.

Алгоритм расчета цепи методом контурных токов.

Определяем общее число ветвей p*

Определяем число ветвей с источниками тока pит.

Определяем число ветвей с неизвестными токами p*-pит

Определяем число контуров, необходимое и достаточное для определения всех неизвестных токов m= p*-(q-1).

Произвольно наносим на схему номера и направления неизвестных токов.

Обозначаем на схеме контура и выбираем направления их обхода. Необходимо, чтобы каждая ветвь входила хотя бы в один из обозначаемых контуров. При этом ветви с источниками тока обязательно включаем, но каждую в свой контур. Токи данных контуров считаем известными и равными токам источников – таким образом, число неизвестных сокращается.

Записываем выражения для токов в ветвях через контурные токи. Контурные токи в ветвях, не являющихся смежными, и будут истинными токами. Для ветвей, входящих в несколько контуров (смежных ветвей) истинный ток будет являться суммой либо разностью контурных токов данных контуров. При этом те контурные токи, которые совпадают по направлению с током в ветви, берем со знаком плюс, а те, направления которых противоположны – со знаком минус. Определяем собственные сопротивления контуров как сумму всех сопротивлений, входящих в контур (только для контуров без источников тока). Эти сопротивления обозначаются двойным повторяющимся индексом: и т.д.

Определяем сопротивления смежных ветвей и их знаки: плюс – если контурные токи сонаправлены в данной ветви, и минус, если их направления встречны. Эти сопротивления обозначаются двойным индексом, цифры которого указывают номера смежных контуров и т.д.

Аналогично определяем сопротивления ветвей, являющихся смежными с контурами, содержащими источники тока.

Определяем суммарную ЭДС контура (также обозначается двойным повторяющимся индексом - и т.д.). Это алгебраическая сумма ЭДС, входящих в данный контур, причем со знаком плюс берут те ЭДС, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода, и наоборот, со знаком минус те, что направлены встречно.

Записываем систему уравнений по форме, приведенной ниже:

Решаем данную систему относительно контурных токов.

Определяем токи в ветвях, подставляя контурные токи в выражения п. 7

Найти токи в схеме рис. 35 с применением метода контурных токов.

1.2.1.1. Топология цепи.

Определяем общее число ветвей: p*=5

Определяем число ветвей с источниками тока: pит=1.

Определяем число ветвей с неизвестными токами: p*- pит=4.Количество узлов – 3

Определяем необходимое и достаточное число контуров: 3

Произвольно наносим на схему номера и направления неизвестных токов (рис. 36)

Определяем собственные сопротивления контуров (для контуров без источников тока):

Определяем сопротивления смежных ветвей и их знаки:

Аналогично определяем сопротивления ветвей, являющихся смежными с контуром, содержащим источник тока:

Определяем суммарную ЭДС контуров:

Записываем систему уравнений по форме:

Если произвести подстановку сопротивлений, то видно, что данная система полностью совпала с системой, полученной в п. 7: