Исследование функции на выпуклость вверх и выпуклость внизс помощью второй производной

Функция, график которой изображен на рисунке 1, выпукла вверх на интервале (a, b) .

Пример 1. Примером функции, выпуклой вверх на , является функция y = – x 2 (рис. 2).

Выпуклые вниз функции

Функция, график которой изображен на рисунке 3, выпукла вниз на интервале (a, b) .

Пример 2. Примером функции, выпуклой вниз на , является функция y = x 2 (рис. 4).

Вторая производная функции

Определение 3. Если у функции y = f (x) существует производная в некоторой точке x0 , то эту производную часто называют первой производной или производной первого порядка функции y = f (x) в точке x0 .

Пусть у функции y = f (x) существует производная во всех точках . Тогда, вычисляя в каждой точке производную f ' (x) , мы получим функцию y = f ' (x). Если у функции y = f ' (x) существует производная в некоторой точке x0 интервала (a, b), то эту производную называют второй производной или производной второго порядка функции y = f (x) в точке x0 .

Для производной второго порядка y = f (x) используются обозначения:

Точно так же, как это было сделано при определении второй производной функции f (x), можно определить и производные более высоких порядков: третью производную, четвертую производную и т.д. (конечно же, при условии, что они существуют).

Достаточные условия выпуклости вверх и выпуклости вниз функции

При исследовании направления выпуклости функции (выпуклость вверх или выпуклость вниз) важную роль играет вторая производная этой функции.

Утверждение 1. Если функция f (x) имеет на интервале (a, b) вторую производную, причем для всех выполнено условие

то функция f (x) выпукла вниз на интервале (a, b) .

Утверждение 2. Если функция f (x) имеет на интервале (a, b) вторую производную, причем для всех выполнено условие

то функция f (x) выпукла вверх на интервале (a, b) .

Доказательства утверждений 1 и 2 выходят за рамки школьного курса математики и здесь не приводятся.

Пример 3. Функция y = ln x на интервале удовлетворяет условию

В силу утверждения 2 отсюда следует, что функция y = ln x выпукла вверх (рис. 5) на всей своей области определения .

Пример 4. Функция y = e x на интервале удовлетворяет условию

и, в силу утверждения 1, функция y = e x выпукла вниз (рис. 6) на всей своей области определения .

Точки перегиба

Определение 4. Пусть функция y = f (x) определена на некотором интервале (a, b) , содержащем точку x0 . Говорят, что при переходе через точку x0 функция f (x) меняет направление выпуклости, если на одном из интервалов

Определение 5. Пусть функция y = f (x) определена на некотором интервале (a, b) , содержащем точку x0 , а у графика функции в точке (x0; f (x0)) существует касательная. Если функция f (x) при переходе через точку x0 меняет направление выпуклости, то точку x0 называют точкой перегиба функции f (x) .

Замечание 1 . Если x0 – точка перегиба функции y = f (x), то график функции y = f (x) при переходе через точку x0 переходит с одной стороны от касательной в точке (x0; f (x0)) на другую сторону от касательной, то есть «перегибается» через касательную.

Пример 5. Рассмотрим функцию y = x 3 , график которой изображен на рисунке 7.

то прямая y = 0 (ось абсцисс Ox ) является касательной к графику функции y = x 3 в точке (0; 0).

Поэтому y" > 0 при x > 0 и y" < 0 при x < 0 . Таким образом, функция y = x 3 выпукла вверх при x < 0 и выпукла вниз при x > 0 , и точка x = 0 является точкой перегиба графика функции y = x 3 . График функции y = x 3 при переходе через точку x = 0 переходит из нижней полуплоскости в верхнюю полуплоскость, то есть «перегибается» через касательную y = 0 .

Необходимые условия для существования точки перегиба

Замечание 2. Условия существования точки перегиба, сформулированные в утверждении 3, являются необходимыми, но не являются достаточными.

Действительно, рассмотрим функцию y = x 4 , график которой изображен на рисунке 8.

Вычисляя вторую производную этой функции

замечаем, что y '' (0) = 0 , однако точка x = 0 не является точкой перегиба графика функции y = x 4 , так как функция y = x 4 выпукла вниз, как при x < 0 , так и при x > 0 .

Достаточные условия для существования точки перегиба

Утверждение 4. Пусть функция y = f (x) определена на некотором интервале (a, b) , содержащем точку x0 , имеет первую производную в каждой точке интервала (a, b) и имеет вторую производную в каждой точке интервала (a, b) за исключением, быть может, самой точки x0 .

Если для точек выполнено условие:

либо выполнено условие:

Другими словами, точка x0 является точкой перегиба графика функции f (x) , если при переходе через точку x0 вторая производная функции меняет свой знак.

Пример 6. Найти интервалы, на которых функция

выпукла вверх, а также интервалы, на которых эта функция выпукла вниз. Определить точки перегиба.

Решение. Вычислим вторую производную функции:

Отсюда вытекает, что вторая производная существует во всех точках и обращается в нуль в точках x = 1 и x = 2 . Воспользуемся методом интервалов и изобразим на рисунке 9 диаграмму знаков второй производной y" (x)

При переходе через точку x = 1 вторая производная функции y" (x) меняет знак с «+» на «–» . Следовательно, x = 1 – точка перегиба графика функции.

При переходе через точку x = 2 вторая производная функции y" (x) меняет знак с «–» на «+» . Следовательно, x = 2 также является точкой перегиба графика функции.

При и при вторая производная функции y" (x) > 0, следовательно, функция y (x) выпукла вниз на этих интервалах.