Решение тригонометрических неоднородных линейных уравнений (на формулу вспомогательного угла)

Формулы сокращенного умножения с подстановкой в них \(\sin x\) и \(\cos x\) выглядят следующим образом: \[\begin \\ I. \ (\sin x\pm \cos x)^2=\sin^2x\pm 2\sin x\cos x+\cos^2x=1\pm \sin\\\\ \hline\\ II. \ \cos^2x-\sin^2x=\cos\\\\ \hline\\ III. \ \sin^3x\pm\cos^3x=(\sin x\pm\cos x)(\sin^2x\mp\sin x\cos x+\cos^2x)=(\sin x\pm\cos x)(1\mp \frac12 \sin)\\\\ \hline\\ IV. \ (\sin x\pm \cos x)^3=\sin^3x\pm \cos^3x\pm 3\sin x\cos x(\sin x\pm \cos x)=(1\pm\sin)(\sin x\pm\cos x)\\ \end\]

а) Решите уравнение \[\sin^3x+\cos^3x=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac2; \pi\right].\)

а) По формуле суммы кубов \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) , а также учитывая, что \(\sin^2x+\cos^2x=1\) , имеем: \[(\sin x+\cos x)(\sin^2x-\sin x\cos x+\cos^2x)=0\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin\begin &\sin x+\cos x=0\\ &1-\sin x\cos x=0\end\end\right.\] Так как \(\sin x\cdot \cos x=0,5\sin 2x\) , то \[\left[\begin\begin &\sin x=-\cos x \ \Big|:\cos x\\ &0,5\sin 2x=1\end\end\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin\begin &\mathrm\,x=-1\\ &\sin 2x=2\end\end\right.\] Второе уравнение не имеет решений, так как \(|\sin \alpha|\leqslant 1\) при любом \(\alpha\) . Первое уравнение имеет решения: \[x=-\dfrac4+\pi n, n\in\mathbb\]

б) Отберем корни: \[-\dfrac2\leqslant -\dfrac4+\pi n\leqslant \pi \quad\Leftrightarrow \quad -\dfrac15\leqslant n\leqslant \dfrac54\quad\Rightarrow\quad n=0;1 \quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac4; \dfrac4\]

а) Решите уравнение \[\cos 2x+\cos x+\sin x=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие интервалу \((0;\pi)\) .

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Применим формулу косинуса двойного угла: \(\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)\) :

\[(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)+ (\cos x+\sin x)=0 \Rightarrow (\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x+1)=0 \Rightarrow\] \[\left[ \begin\begin &\cos x+\sin x=0\\ & \cos x-\sin x=-1 \end\end\right.\]

Первое уравнение является однородным первом степени, поэтому путем деления правой и левой частей равенства на \(\cos x\) сводится к \(\mathrm\,x=-1 \Rightarrow x_0=-\dfrac4+\pi n, n\in\mathbb\)

Второе уравнение является неоднородным первой степени. Разделим обе части равенства на \(\sqrt=\sqrt2\) :

\[\dfrac2\cos x-\dfrac2\sin x=-\dfrac2 \Rightarrow \cos\dfrac4\cos x-\sin\dfrac4\sin x=-\dfrac2 \Rightarrow \cos \left(x+\dfrac4\right)=-\dfrac2\]

Решением данного уравнения являются \(x_1=-\pi+2\pi k, k\in\mathbb\) и \(x_2=\dfrac2+2\pi m, m\in\mathbb\)

б) Отберем корни:

1) \(0<-\dfrac4+\pi n<\pi \Rightarrow \dfrac14<n<\dfrac54 \Rightarrow n=1\Rightarrow x=\dfrac4\)

2) \(0<-\pi+2\pi k<\pi \Rightarrow \dfrac12<k<1 \Rightarrow k\in\varnothing\)

3) \(0<\dfrac2+2\pi m<\pi\Rightarrow -\dfrac14<m<\dfrac14 \Rightarrow m=0 \Rightarrow x=\dfrac2\)

а) \(-\dfrac4+\pi n, -\pi+2\pi k,\dfrac2+2\pi m, \ n,k,m \in\mathbb\)

а) Решите уравнение \[\cos x-\sin x+1+2\sin x\cos x=0\]

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку \((-7\pi;-3\pi)\) .

а) Преобразуем уравнение к виду:

\[\cos x-\sin x-(1-2\sin x\cos x)+2=0\]

Тогда по формуле сокращенного умножения \((\sin x-\cos x)^2=1-2\sin x\cos x\) можно записать:

\[-(\sin x-\cos x) -(\sin x-\cos x)^2+2=0\]

Сделаем замену переменной: \(t=\sin x-\cos x\) . Тогда уравнение примет вид:

\[-t-t^2+2=0 \quad \Rightarrow \quad t^2+t-2=0 \quad \Rightarrow \quad t_1=-2, \ t_2=1\]

Сделаем обратную замену переменной:

1) \(\sin x-\cos x=-2 \ |:\sqrt2 \quad \Rightarrow \quad \dfrac2\sin x-\dfrac2\cos x=-\sqrt2 \quad \Rightarrow \)

\(\Rightarrow \quad \sin x\cos\dfrac4-\cos x\sin \dfrac4=-\sqrt2 \quad \Rightarrow \quad \sin \left(x-\dfrac4\right)=-\sqrt2\)

Т.к. область значений синуса — это отрезок \([-1;1]\) , то данное уравнение не имеет решений, т.к. \(-\sqrt2<-1\) .

2) \(\sin x-\cos x=1 \ |:\sqrt2 \quad \Rightarrow \quad \dfrac2\sin x-\dfrac2\cos x=\dfrac2 \quad \Rightarrow \quad \sin\left(x-\dfrac4\right)=\dfrac2 \quad \Rightarrow \)

\(\Rightarrow \quad \left[ \begin \begin &x-\dfrac4=\dfrac4+2\pi n, n\in\mathbb\\[1ex] &x-\dfrac4=\dfrac4+2\pi m, m\in\mathbb \end \end \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin \begin &x=\dfrac2+2\pi n, n\in\mathbb\\[1ex] &x=\pi+2\pi m, m\in\mathbb \end \end \right.\)

б) Отберем корни.

\[-7\pi<\dfrac2+2\pi n<-3\pi \quad \Rightarrow \quad -\dfrac4<n<-\dfrac74\]

Таким образом, среди целых чисел подходят только \(n=-3;-2\) , при которых получаются корни \(x=-\dfrac2; \ -\dfrac2\) .

\[-7\pi<\pi+2\pi m<-3\pi \quad \Rightarrow \quad -4<m<-2\]

Таким образом, среди целых чисел подходит только \(m=-3\) , при котором получается корень \(x=-5\pi\) .

а) \(\dfrac2+2\pi n; \pi+2\pi m; n,m\in\mathbb\)

а) Решите уравнение \[\sin^3x-\cos^3x+\cos2x=0\]

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac2;\pi\right]\) .

а) По формулам сокращенного умножения:

\(\sin^3x-\cos^3x=(\sin x-\cos x)(\sin^2x+\sin x\cos x+\cos^2x)=(\sin x-\cos x)(1+\sin x\cos x)\) ;

\(\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)\) .

Значит, уравнение можно переписать в виде:

\[\begin &(\sin x-\cos x)(1+\sin x\cos x)+(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=0 \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow \quad &(\cos x-\sin x)(-1-\sin x\cos x+\cos x+\sin x)=0 \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow \quad &\left[ \begin \cos x-\sin x=0\\ -1-\sin x\cos x+\cos x+\sin x=0 \end \right. \end\]

Решим каждое уравнение по отдельности.1) Первое уравнение является однородным и решается делением обеих частей уравнения, например, на \(\cos x\) :

\[\dfrac-\dfrac=0 \quad \Rightarrow \quad 1-\mathrm\,x=0 \quad \Rightarrow \quad \mathrm\,x=1 \quad \Rightarrow \quad x=\dfrac4+\pi n, n\in\mathbb\] 2) Второе уравнение решается разложением на множители:

\(-1-\sin x\cos x+\cos x+\sin x=0 \quad \Rightarrow \quad \sin x-1-(\sin x\cos x-\cos x)=0\quad \Rightarrow \)

\(\Rightarrow \quad (\sin x-1)-\cos x(\sin x-1)=0 \quad \Rightarrow \quad (\sin x-1)(1-\cos x)=0 \quad \Rightarrow\)

\(\left[ \begin \begin &\sin x=1\\ &\cos x=1 \end \end \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin \begin &x=\dfrac2+2\pi m, m\in\mathbb\\[1ex] &x=2\pi k, k\in\mathbb \end \end \right.\)

б) Отберем корни по окружности:

Заметим, что одна точка, задающая серию корней \(\frac4+\pi+2\pi n_2\) из решения первого уравнения, не входит в отрезок \(\left[-\frac2;\pi\right]\) .

Нетрудно увидеть, что из остальных точек в этот отрезок попадает по одному углу: \(0\) (при \(k=0\) ), \(\frac4\) (при \(n_1=0\) ) и \(\frac2\) (при \(m=0\) ).

а) \(2\pi k; \dfrac4+\pi n; \dfrac2+2\pi m; \ n,m,k\in\mathbb\)