Скорость света в однородных изотропных диэлектриках

Уравнения (1) и (2) - это обычные уравнения волнового движения, которые обозначают, что световые волны распространяются в однородной изотропной среде со скоростью ($v$) равной:

где $n$ -- показатель преломления диэлектрика.

Само понятие скорости электромагнитной волны имеет определенный смысл лишь в связи с волнами простого вида, например, плоскими. Скорость $v$ не является скоростью распространения волны в случае произвольного решения уравнений (1) и (2), так как эти уравнения допускают решения в виде стоячих волн.

Рассматриваемая нами скорость является фазовой скоростью. Строго говоря, мы имеем дело со скоростью перемещения фазы волны. Фазовую скорость определяют как:

где $\omega $ -- циклическая частота волны, $k=\frac$ -- волновое число.

Для большинства прозрачных веществ можно считать $\mu \approx 1$. В таком случае выражение, определяющее скорость света в диэлектрике будет равна:

Для больших частот, которыми характеризуется видимый свет диэлектрическая проницаемость среды ($\varepsilon $), в общем случае зависима от частоты ($\nu $), то есть не является постоянной величиной, как это считалось в электростатике. Следуя выражению (2) надо сделать вывод, что скорость распространения свет в веществе также зависит от частоты. Зависимость скорости волн в веществе от частоты называют дисперсией.

Зависимость скорости света в диэлектрике от частоты колебаний

Явление дисперсии, прежде всего, объясняется поляризацией молекул вещества, при прохождении в нем световой волны, как следствия взаимодействия частиц вещества с электрическим полем ($\overrightarrow$) электромагнитной волны. Поляризованность среды пропорциональна напряженности электрического поля. Уравнение вынужденных упругих колебаний электрона (здесь $k-коэфиициент\ упругости$) в этом явлении можно записать как (мы всегда помним, что физический смысл имеет только реальная часть выражения, даже если для удобства вычислений используем формулы в комплексной форме):

Решением уравнения (6) является выражение вида:

Подставим (7) в уравнение (6), имеем:

Пусть концентрация электронов $N$, диэлектрическая восприимчивость вещества $\varkappa $, поляризация вещества $P_m$, тогда можно записать, что:

где $_ex_m$ -- индуцированный дипольный момент. Выразим коэффициент $\varkappa $ из формулы (9), получим:

Для однородной, изотропной среды диэлектрическая восприимчивость $\varkappa $ связана с диэлектрической проницаемостью вещества ($\varepsilon $) выражением:

Следовательно, выражение для диэлектрической проницаемости с учетом ее зависимости от частоты световой волны примет вид:

Из выражения (12) следует, что $\varepsilon $ может быть как больше, так меньше единицы или вовсе меньше нуля.

Тогда скорость света в веществе, применяя выражения (5) и (12) можно записать как:

В некоторых веществах электроны в атомах имеют разные собственные частоты ($_$), отличаться могут их концентрации $(N_k)$, этом случае выражение для фазовой скорости распространения света в диэлектрике можно представить:

Скорость распространения света в движущемся диэлектрике

Допустим, что однородный, изотропный диэлектрик движется со скоростью $\overrightarrow$. Пусть свет распространяется вдоль $оси Z$, направление скорости $\overrightarrow$ совпадает с движением волны. $\left|\overrightarrow\right|=\pm u_z$. В таком случае, скорость света в перемещающемся диэлектрике будет равна:

Формула (15) справедлива для случая произвольного угла между направлением вектора скорости вещества и направлением распространения волны.

Задание: Каков максимальный модуль скорости вынужденных колебаний свободного электрона, если в точке, где находится этот электрон источник света частотой $\nu $, создает электромагнитное поле, в котором амплитуда электрического поля - $E_m.$ Действием магнитной составляющей поля пренебречь.

Решение:

Уравнение вынужденных колебаний электрона запишем как:

Решением данного уравнения служит выражение:

\[\omega =2\pi \nu \left(1.3\right).\]

Подставим (1.2) в уравнение колебаний (1.1), получим:

Получаем, что $x_m$:

Тогда скорость может быть найдена как:

Из (1.4) следует, что $\left|v_\right|$ равна:

Задание: Чему равна скорость света в белом алмазе, если показатель преломления его равен $2,4$ для длины волны равной $589\ нм.$

Решение:

Используя значение показателя преломления, найдем скорость света в веществе, применяя формулу:

где $c=3\cdot ^8\frac$ -- скорость света в вакууме. Проведем вычисления: