Пример 6. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и

Решение. Диагоналями параллелограмма являются векторы и (см. рис. 5). Тогда , , , следовательно, – угол между диагоналями равен .

Пример 7.Дано: , , , . Вычислить – длину вектора .

Решение. Из свойства (5) скалярного произведения ; но , , , следовательно, .

Векторным произведением двух векторов называется вектор, который обозначается или и определяется следующим образом:

1) где – длина этого вектора равна произведению длин перемножаемых векторов на синус угла между ними;

2) ` ,` – этот вектор перпендикулярен каждому из перемножаемых векторов;

3) векторы , , образуют правую тройку.

Из условия (1) следует, что модуль вектора` численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (рис 17): , .

Свойства векторного произведения:

Пример 8. Упростить выражение .

Решение. На основании свойств векторного произведения получим , но , , тогда

Пример 9. В треугольнике с вершинами , , найти длину высоты .

Решение. , откуда , где . Найдем координаты векторов: , .

По определению скалярного произведения , где – угол между векторами и . Но – площадь параллелограмма, построенного на векторах и , а , где – высота параллелепипеда. Таким образом, .

Смешанное произведение трех векторов с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Можно записать: .

- уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

– общее уравнение прямой на плоскости.

- каноническое уравнение прямой, или уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

y0, x0 – заданные координаты данного вектора

, – параметрические уравнения прямой.

– уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Угол между двумя прямыми.Пусть прямые и заданы соответственно уравнениями , , где , . Обозначим угол между прямыми: (рис. 24). Тогда , .

Если , то , а следовательно, , то есть k1= k2.

Если , то , не определен, , следовательно, , или .

Если прямые и заданы соответственно уравнениями

, , где , – нормальные векторы прямых, то , или .

Если , то , следовательно, .

Расстояние от точки до прямой.Пусть прямая на плоскости задана уравнением и точка имеет координаты (рис. 25). Обозначим – основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую , , – расстояние от точки до прямой . Тогда , а – нормальный вектор прямой. Рассмотрим скалярное произведение . С одной стороны, , так как , следовательно, угол между ними или . С другой стороны, , но точка , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению , откуда , поэтому . Приравнивая выражения, получим

Пример 12. Прямая задана уравнением . Составить уравнения а) прямой , проходящей через точку параллельно прямой ; б) прямой , проходящей через начало координат перпендикулярно прямой .

Решение. 1-й способ. Из уравнения прямой определим нормальный вектор этой прямой . Этот вектор перпендикулярен и прямой (рис. 26). Таким образом, для известен нормальный вектор и точка . Воспользуемся уравнением (2.12): или – уравнение . Для прямой вектор является направляющим и точка . Воспользуемся уравнением (2.15): , или , или – уравнение .

2-й способ. Запишем уравнение прямой в виде . Найдем угловой коэффициент прямой : . Прямая , следовательно, ее угловой коэффициент ; прямая , поэтому ее угловой коэффициент . Зная угловой коэффициент прямой и координаты точки на этой прямой, можно воспользоваться уравнением (2.18). Получим уравнение прямой : или, умножив обе части на 3, , и уравнение прямой : , то есть .

Пример 13. В треугольнике с вершинами , , составить уравнения медианы , высоты , найти длину высоты (рис. 27).

Решение. – середина отрезка , ее координаты найдем по формулам (2.7): , , то есть . Таким образом, на медиане известны две точки и . Воспользуемся уравнением (2.17): , или – уравнение медианы . Его можно привести к виду . Для составления уравнения высоты найдем – нормальный вектор прямой ВН. Воспользуемся уравнением (2.12): . Разделив на 4 и раскрыв скобки, получим – уравнение . Составим уравнение прямой , используя уравнение (2.15) и рассматривая как направляющий вектор: ; , или . Тогда длину высоты найдем по формуле (2.21) как расстояние от точки до прямой : .

– уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

– общее уравнение плоскости.

– уравнение плоскости в отрезках. Здесь а, в, с – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат

– уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Неполные уравнения плоскостей

Если в уравнении плоскости какие-либо из коэффициентов равны нулю, то получится неполное уравнение плоскости

Пусть, например, Уравнение имеет вид и определяет плоскость, проходящую через начало координат (координаты точки О(0; 0; 0) удовлетворяют уравнению).

Пусть Уравнение имеет вид и определяет плоскость, параллельную оси Оz или проходящую через ось Оz при Действительно, тогда то есть а плоскость

Пусть Уравнение имеет вид и определяет плоскость, параллельную плоскости Оуz или совпадающую с ней при Действительно, то есть а плоскость или

Аналогично можно рассмотреть другие случаи.

Угол между двумя плоскостями

Пусть плоскости a1 и a2 заданы соответственно уравнениями где и – нормальные векторы этих плоскостей (рис. 45). Очевидно, тогда косинус угла между плоскостями

Расстояние от точки до плоскости Если – заданная точка и – уравнение плоскости a, то расстояние от точки Мо до плоскости a определяется по формуле: (2.33)

(доказывается аналогично (2.21)).

– канонические уравнения, здесь хо, уо, zо – координаты заданной точки на прямой, а m, n, p – координаты направляющего вектора прямой (вектора, параллельного прямой);

– параметрические уравнения прямой;

Прямую в пространстве можно задать также как линию пересечения двух плоскостей. Если уравнения этих плоскостей и где – их нормальные векторы, то уравнения прямой (их линии пересечения) имеют вид

(2.37) – общие уравнения прямой в пространстве.

Для нахождения какой-нибудь точки на этой прямой достаточно придать одной из переменных конкретное числовое значение (например, х = 0), подставить его в систему (2.37) и решить ее относительно двух оставшихся переменных.

Направляющий вектор прямой (2.37) можно найти как векторное произведение нормальных векторов пересекающихся плоскостей:

Пример 21. Записать канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями

Решение. Найдем точку на прямой. Пусть, например, z = 0. Система примет вид Сложив уравнения, получим Тогда из второго уравнения Точка на прямой А(1; -2; 0). Найдем направляющий вектор этой прямой: Получим канонические уравнения прямой

Если то (рис. 47), то есть или

– условие параллельности прямой и плоскости. При этом же условии прямая лежит в плоскости.

Если то (рис. 48), то есть – условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Пусть требуется найти точку пересечения прямой и плоскости Запишем параметрические уравнения прямой и подставим выражения для х, у, z в уравнение плоскости. Получим уравнение вида относительно параметра t. Выразив t и подставив в параметрические уравнения, найдем координаты точки пересечения.

Замечание. Если уравнение относительно t примет вид 0t = 0 (то есть M = N = 0), то любое действительное значение t будет его решением, значит, прямая и плоскость имеют множество общих точек, то есть прямая лежит в плоскости.

Если уравнение относительно t примет вид 0 × t = N (то есть М = 0, N ¹ 0), то такое уравнение решений не имеет, значит, прямая и плоскость не имеют общих точек, то есть прямая параллельна плоскости.

Пример 22. Найти точку пересечения прямой и плоскости

Решение. Запишем параметрические уравнения прямой: Подставим эти выражения в уравнение плоскости: Из параметрических уравнений получим Следовательно, точка пересечения прямой и плоскости

Пример 23. Показать, что прямая лежит в плоскости

Решение. 1-й способ. Используем параметрические уравнения прямой Подставим в уравнение плоскости: – получили равенство, верное при любых Следовательно, прямая лежит в плоскости.

2-й способ. – направляющий вектор прямой, – нормальный вектор плоскости. значит, прямая параллельна плоскости или лежит в плоскости (из условия (2.40)). Точка принадлежит прямой и ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: значит, прямая лежит в плоскости.