Уравнения и неравенства с модулем
Репетитору по математике часто приходится сталкиваться с отсутствием у старшеклассников навыков решения простейших уравнений и неравенств с модулем. Между тем среди заданий С3 или С5 из ЕГЭ по математике таковые могут встретиться. Даже если их не будет на экзамене в явном виде, в процессе выполнения некоторых задач из ЕГЭ вам, возможно, придется столкнуться с решением того или иного задания с модулем. Поэтому научиться решать уравнения и неравенства с модулем должен каждый выпускник средней школы. В данной статье рассмотрены некоторые способы их решения. Присутствует также видеоразбор решения одного уравнения, содержащего модуль.
Считается, что чем больше способов решения существует у задачи, тем она интереснее с математической точки зрения. Уравнения и неравенства с модулями можно поэтому смело назвать интересными. Рассмотрим пример.
Решение. Постараемся найти как можно большее количество решений данного уравнения. Подробное объяснение решений смотрите в видеоуроке.
Способ №1. Решение возведением в квадрат. Просто возводим обе части уравнения в квадрат. При этом не забываем, что подобное преобразование не является равносильным. Из-за этого могут появиться посторонние корни, поэтому полученные решения необходимо будет проверить прямой подстановкой в исходное уравнение.
Путем прямой подстановки полученных решений в исходное уравнение убеждаемся, что посторонних корней среди них нет. На самом деле в данном конкретном задании отсутствует необходимость проверки корней. Возведение обеих частей этого уравнения в квадрат не может привести к приобретению посторонних решений. Подумайте самостоятельно, почему это так.
Способ №2. Метод интервалов. Не совсем верное название, но мы его здесь употребим, поскольку в методической литературе оно встречается. Для решения нам потребуется найти значение переменной при котором подмодульное выражение обращается в ноль: Наносим эту точку на числовую прямую и определяем знаки подмодульного выражения на полученных промежутках.
Далее на каждом промежутке раскрываем знак модуля в соответствии с полученными данными:
- при подмодульное выражение отрицательно, и модуль раскрывается со знаком минус: или Дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, корней нет.
- при подмодульное выражение положительно, и модуль раскрывается со знаком плюс: или Корни уравнения и Оба принадлежат рассматриваемому нами промежутку.
Способ №3. Замена уравнения смешанной системой. Известно, что:
Для тех, кто не знает, какой именно смысл вкладывается в математике в фигурные и квадратные скобки, рекомендую ознакомиться со статьей «Решение систем логарифмических и показательных неравенств». То есть в нашем случае:
Легко заметить, что первое неравенство выполняется при любом значении Следовательно, в составе системы на него вообще можно не обращать внимания. Ситуация несколько упрощается:
Способ №4. Графический. Строим в одной системе координат графики функции и Абсциссы точек их пересечения будут являться решениями уравнения. Метод менее точный, но более наглядный. Видно, что это все те же и
Соответствующие графики функций на одном координатном поле.
На этом список стандартных способов решения данного уравнения с модулем исчерпан. Придумайте свои нестандартные.
Простейшие уравнения с модулем
Решение. Перепишем уравнение в виде:
Получается, что модуль выражения равен этому выражению, взятому с противоположным знаком. Такое возможно только в том случае, если данное выражение отрицательно или равно нулю:
Ответ:
Задача для самостоятельного решения №1. Решите уравнение
Решение. Исходное уравнение равносильно системе:
Обе части последних двух уравнений разделили на В данном случае В противном случае а это невозможно, поскольку
Ответ:
Задача для самостоятельного решения №2. Решите уравнение:
Примечание. Для решения этого задания потребуется знание формулы суммы и разности синусов.
Решение. Перепишем уравнение в виде:
Сумма модулей равна сумме подмодульных выражений. Это возможно только в том случае, когда оба подмодульных выражения неотрицательны:
Ответ:
Задача для самостоятельного решения №3. Решите уравнение:
Решение. Сумма модулей равна модулю суммы подмодульных выражений. Это возможно только в том случае, когда оба подмодульных выражения одновременно либо неотрицательны, либо неположительны. То есть:
Ответ:
Задача для самостоятельного решения №4. Решите уравнение:
Простейшие неравенства с модулем
Решение. Исходное неравенство равносильно следующей системе неравенств:
Ответ:
Задача для самостоятельного решения №5. Решите неравенство:
Решение. Исходное неравенство равносильно следующей совокупности неравенств:
Ответ:
Задача для самостоятельного решения №6. Решите неравенство:
Решение. Исходное неравенство равносильно следующему неравенству:
Ответ:
Задача для самостоятельного решения №8. Решите неравенство:
Решение. Исходное неравенство равносильно следующему неравенству:
Ответ:
Задача для самостоятельного решения №9. Решите неравенство: