математике класс 1. Что больше: 15% от числа 240 или число, 75% которого равны 27. 2) Найдем число, 75% которого равны 27: 36.

1 Решение муниципального этапа Республиканской ученической олимпиады по 606 математике 6 класс Что больше: 5% от числа 40 или число, 75% которого равны 7 Решение ) Найдем 5% от числа 40: 36 ; ) Найдем число, 75% которого равны 7: 36 Ответ: числа равны Чтобы пронумеровать страницы научной работы потребовалось 3389 цифр Сколько страниц в этой работе? Решение Одной цифрой пронумеровано 9 страниц, двумя цифрами пронумеровано 90 страниц, тремя цифрами пронумеровано 900 страниц, всего цифр Остается еще 500 цифр, которые использованы для четырехцифровых номеров страниц Таких страниц 500 : 4 5 Значит, всего страниц Ответ: 4 страницы 3 Два поезда двигались навстречу друг другу по параллельным путям: один со скоростью 50 км/ч, а другой со скоростью 70 км/ч Пассажир второго поезда заметил, что первый поезд прошѐл мимо него за 6 секунд Какова длина первого поезда? Решение Можно считать, что пассажир стоит на месте, а второй поезд проезжает мимо него со скоростью: (км/ч) Так как поезд едет шесть секунд или 600 проедет за это время или его длина равна: Ответ: 00 метров часа, то расстояние которое он (км) 00 метров

2 4 На прямой отметили точки А, В и С так, что АВ = 0 см, ВС = 0 см Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и ВС Решение Возможны два случая взаимного расположения точек А, В и С ) 0см 0см А 0см В5см С расстояние между серединами отрезков АВ и ВС равно 5см; ) А 0см 0см С 5см В расстояние между серединами отрезков АВ и ВС равно 5см, так как точка С середина отрезка АВ Ответ: 5см или 5см 5 Можно ли натуральные числа. разбить на несколько групп, в каждой из которых наибольшее число равно сумме всех остальных чисел этой группы? Решение Если бы это было возможно, сумма чисел в каждой группе была бы четной (равнялась бы удвоенному наибольшему числу) Тогда, поскольку сумма всех чисел равна сумме этих полученных четных результатов, она четная С другой стороны, - нечетное число, поскольку в сумму входит нечетное количество нечетных чисел Ответ: нельзя

3 Решение муниципального этапа Республиканской ученической олимпиады по математике класс Найдите сумму всех решений уравнения 5 x 7 0 x Решение Произведение равно 0, если равен 0 хотя бы один из множителей, поэтому либо x 5 0, либо x 7 0 x 5, 7 x или 7 Ответ: -5 x Значит, Сколько воды надо добавить к 600 г жидкости, содержащей 40 % соли, чтобы получился % -ный раствор этой соли? Решение Посчитаем, сколько соли содержится в 600 г жидкости: (г) 00 Теперь установим, сколько будет % -ной жидкости: (г) Отсюда, легко считается количество добавленной воды: Ответ: 400 г (г) 3 На уборке снега работают две машины Одна из них может убрать всю улицу за час, а другая - за 45 минут Начав уборку одновременно, обе машины проработали вместе 0 минут, после чего первая машина сломалась Сколько надо времени, чтобы вторая машина закончила работу?

4 Решение Исходя из условия задачи, первая машина убирает улицу за час, а вторая за часа Тогда, убирая улицу вместе часа, они 3 убрали : улицы Поэтому второй машине осталось убирать 9 улицы Она потратит на это 4 : часа или 0 минут Ответ: 0 минут 4 Можно ли на прямой отметить точки A, B, C, D, E так, чтобы расстояния между ними в сантиметрах оказались равны: AB = 6, BC = 7, CD = 0, DE = 9, AE =? Если да приведите пример, если нет объясните, почему нельзя Решение Можно (см рисунок) 5 На столе лежит куча из 06 камней Из нее выбрасывают один камень и делят кучу на две (не обязательно равные) части Затем из любой кучи, содержащей более двух камней, снова выбрасывают один камень и делят ее на две части и тд Можно ли через несколько ходов добиться того, чтобы во всех кучах, лежащих на столе, было ровно по 3 камня? Решение После каждого хода количество куч на столе увеличивается на одну Значит, после п -го хода получается n куч Если все они содержат по три камня, то общее количество камней в них 3п Вместе с выброшенными камнями (выброшенных всего п ) они составляют исходное количество 06 Значит, 06 n 3n или 06 4n ; 4n 07 Поскольку п не является целым, добиться предложенного в условии нельзя Ответ: нельзя

5 Решение муниципального этапа Республиканской ученической олимпиады по 606 математике 8 класс Известно, что 0% одного числа равны 3 этих чисел, если их сумма равна 4 второго Найдите произведение Решение Пусть неизвестные числа равны x и y 0% первого числа равны 0,x, а второго равна y x y 4, x y 4, y y 4, y 4, 3 3 y 9, 5 0,x y; x y; 5 5 x x y; x y; 3 3 систему уравнений: Произведение чисел равно Ответ: 35 По условию задачи составим и решим Найдите все корни уравнения x 0 x Решение Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, только если каждое слагаемое равно нулю, то есть уравнение равносильно системе x 0, x 0, x x x 0; x 0; x ; 0, x или x ; x, x Ответ: 3 АЕ биссектриса угла А треугольника АВС Известно, что АЕ=ЕС Найдите углы треугольника АВС, если АС=АВ

6 Решение Проведем EH AC По условию АЕ=ЕС, значит, AEC равнобедренный, и AH AC По условию АС=АВ, значит, AB AC Итак, AH AB HC АЕ биссектриса угла А, поэтому BAE HAE BAE HAE по двум сторонам и углу между ними Отсюда ABE AHE 90 Следовательно, ABC прямоугольный, с прямым углом В, в котором катет АВ равен половине гипотенузы АС, значит, АСВ 30, ВАС 60 Ответ: 30 ; 60; 90 4 Первая слева цифра шестизначного числа равна Если ее поставить на последнее место, то получится число, которое в 3 раза больше первоначального Найдите первоначальное число Решение Если шестизначное число начиналось цифрой, его можно представить в виде а, где а некоторое пятизначное число После перестановки на последнее место, число примет вид 0а Поскольку полученное число в 3 раза больше исходного, получаем уравнение: 0 а а Отсюда 0а а ; 7а ; а 4857 Значит, исходное число равно 4857 Ответ: Целые числа m и n такие, что что выражение m m n делится на Решение m 9mn n m n mn Так как m 9mn n делится на Докажите, 9mn n делится на, то и m n mn делится на Тогда на делится и m n Так как простое число, то m n тоже делится на Следовательно, m nm n тоже делится на Значит, m n делится на

7 Решение муниципального этапа Республиканской ученической олимпиады по математике 66 9 класс Дмитрий прочитал книгу за 3 дня В первый день он прочитал 30% и еще 4 страницы, во второй день 60% остатка и еще 4 страниц, в третий день 85% нового остатка и последние 9 страниц Сколько страниц было в книге? Решение 9 страниц составляют 00% 85%=5% последнего остатка, этот остаток равен 9 :500 60страниц Во второй день Дмитрий прочитал 60% остатка и еще 4 страниц и осталось 60 страниц на третий день, значит, 74 страницы это 40% страниц, оставшихся непрочитанными после первого дня Поэтому, весь остаток после первого дня чтения равен 74 : страницы и еще 4 страницы 00% 30% = 70% - остаток после первого дня чтения или 89 страниц Поэтому в книге 89 : страниц Ответ: 70 Найти сумму всех корней уравнения x 3 x 7 0 Решение При x получаем x 3x 7 0 или x 3x 0 0 Корни этого уравнения и -5 Условию x удовлетворяет только При x получаем x 3x 7 0 или x 3x 4 0 Корни этого уравнения - и 4 Условию x удовлетворяет только - Сумма найденных корней равна Ответ: 3 В трапеции АВСD с основаниями АD и ВС, АВ=ВС= АD ADC 9 Найдите BAD Решение АВСD трапеция с основаниями АD и ВС, поэтому BCD ADC 80

8 ADC 9, поэтому BCD 80ADC 6 Проведем СM ABCM ромб AB ABCM - параллелограмм у которого АВ=ВС, то есть По свойству диагоналей ромба АСВ АСМ В треугольнике СМD стороны СМ и МD равны, поэтому MCD MDC 9, тогда CMD BAD CMD 4, как соответственные при параллельных прямых СМ и АВ и секущей АМ Ответ: 4 4 Найти все пары натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 5, а наименьшее общее кратное равно 05 Решение Если наибольший общий делитель двух чисел равен 5, эти числа a и b можно записать в виде: a 5n и b 5k, где п и k взаимно простые натуральные числа Поскольку наименьшее общее кратное равно 05, получаем:05 5nk или kn Возможные значения для п и k, удовлетворяющих условию: и ; 3 и 7 Тогда искомые пары чисел: 5 и 05; 5 и 35 Ответ: 5 и 05; 5 и 35 5 В автобусе имеются одноместные и двухместные сидения Кондуктор заметил, что когда в автобусе сидело 3 человек, то 9 сидений оказалось полностью свободными В следующий раз сидели 0 человек, а свободных сидений осталось 6 Сколько сидений в автобусе? Решение 3 человек могут занять минимум 7 сидений (если из них займут 6 двухместных и 3-й сядет на любое из оставшихся) Так как при этом 9 сидений остались свободными, то всего в автобусе не менее = 6 сидений 0 человек могут занять максимум 0 сидений (занимая отдельное сидение для каждого); при этом 6 сидений остались свободными Значит, всего не более = 6 сидений То есть в автобусе ровно 6 сидений Ответ: 6

9 Решение муниципального этапа Республиканской ученической олимпиады по математике класс x 4 4 x Постройте график функции y x 4x Решение x 4 y x 4x 4 x y: ;4 4; D Если 4 если 4 4 x x, то y x 4x, y x 4x ; 4 x x 4 x, то y x 4x, y x 4x 4 x Найти два натуральных числа, если их сумма равна 85, а наименьшее общее кратное равно 0 Решение Пусть искомые числа это a и b Тогда их можно представить в виде a dn и b dk, где d их наибольший общий делитель; п и k взаимно простые натуральные числа По условию d n k 85, получаем систему двух уравнений: dnk 0 Из нее следует, что 85 и 0 делятся на d Поскольку , а 0 3 7, получаем два возможных варианта: d или d 7 Если d, то полученная система nk 85, nk 0 не имеет решений в натуральных числах

10 nk 5, Если d 7, то получаем систему Решая ее, получаем, nk 6 что п и k равны и 3 Тогда искомые числа 34 и 5 Ответ: 34 и 5 3 Квадрат вписан в круг На сторонах квадрата, как на диаметрах построены полукруги Четыре попарных пересечения этих кругов образу ют фигуру «цветок» Докажите, что общая площадь «цветка» равна площади части описанного около квадрата круга, которая лежит вне квадрата Решение Пусть сторона квадрата равна a а, тогда радиус описанного круга равен a, площадь круга R a a Площадь квадрата 4a, площадь части круга, которая лежит вне квадра равна a 4a a Площадь одного «лепестка цветка» равна a a a, a Sполукруга S треугольни ка = a площадь всего «цветка»: a S 4 a Итак, площади «цветка» и части описанного круга, лежащей вне квадрата, равны 4 f x и g x - квадратные трехчлены, старшие коэффициенты которых равны Известно, что f f 7 f 49 g g7 g49 При каких значениях х выполняется равенство f x gx? Решение Пусть f x x b x c g x x b x c,

11 Тогда f f 7 f 49 b c 49 7b c 40 49b c, f 7 f 49 57b 3c 45 f ; g g7 g49 b c 49 7b c 40 49b c, g7 g49 57b 3c 45 g По условию x b x c x b x c, поэтому xb b c c те 57b 3c 45 57b 3c 45, b b c 57 c, 3 b b c 9 c Так как xb b c c и 9b b c c, то 9 Ответ: При x 9 трехчлены равны x 5 В шахматном турнире каждый шахматист сыграл с каждым по одному разу и каждый шахматист все партии, кроме одной, завершил вничью Сколько шахматистов участвовало в турнире, если всего было зафиксировано 64 ничьи? Решение Пусть в турнире участвовало n шахматистов Тогда каждый из них сыграл ровно n партию Поскольку все партии кроме одной каждый шахматист завершил вничью, то каждый из них сделал n ничьи Тогда n( n ) общее число ничейных партий равно, так как в каждой партии участвуют два шахматиста С другой стороны, общее число ничьих равно n( n ) 64 Таким образом, имеем уравнение 64, или n n 58 0 Решая полученное квадратное уравнение, находим два значения: n 4, Последнее значение не подходит, так как п натуральное Ответ: 4

12 Решение муниципального этапа Республиканской ученической олимпиады по математике 607 класс Найдите все значения x 90; 90 cos0 sin00 sin000 sin x, которые удовлетворяют уравнению Решение Поскольку cos 0 sin 80, sin 00 sin80, sin 80 sin sin 000 sin 80 sin80 sin80 sin80 sin x, sin 80 sin x Отсюда, учитывая, что 90; 90, уравнение примет вид x, получаем, что x 80 Ответ: x 80 Найдите все пары действительных чисел x; y, которые удовлетворяют неравенству 6x 8 y 4y 50 3 Решение Преобразуем неравенство x x 6x 9 9 y 4y 49 3, x 3 9 y 7 3, Поскольку x 3 9 9, a 7 то 3 9 y 7 3 x y, Потому равенство может выполняться только при условии x 3 0, x 3, y 7 0; y 7

13 Ответ: 3; 7 3 Постройте график функции y 3 f ( f ( x)), где x f ( x) x Решение Выполним преобразования: x f ( x) f ( f ( x)) x x f ( x) x x Найдѐм область определения функции ( f ( x)) f : x, f ( x) ; x, x ; x x виде: Таким образом, функция y 3 f ( f ( x)) может быть представлена в y 3x, x ; 3x, y 3x, x 0, x 0, x График функции y 3 f ( f ( x)) изображѐн на рисунке 4 В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) проведены биссектрисы АА и ВВ Найти углы треугольника АВС, если АА ВВ Решение В данном треугольнике АВС обозначим ВАС ВСА Тогда ВВ АС АВ а, ВВ asin, AВ acos,, AC acos По теореме синусов из треугольника AА С

14 AА sin C AC sin A или AА AC sin 3, sin AА а cos sin 3, sin а cos sin AA 3 sin Поскольку АА ВВ, запишем: а cos sin asin 3 sin Так как sin 0 3, получаем: cos 3 Это означает, что или 80 3 sin sin или sin90 3 Следовательно, углы треугольника равны Ответ: 36, 36 и 08 или То есть, Условию удовлетворяет только первое значение 36, 36 и 08 5 Найти наименьшее значение выражения x 0x y y 0 y, если известно, что x Решение Пусть y a x, то есть y ax при x 0 Тогда для решения задачи нужно найти наименьшее значение а, при котором система y ax, имеет решения Преобразуем второе уравнение x 0x y y 0 системы: x 5 y 5 На координатной плоскости оно задает окружность с центром в точке A 5; и радиусом 5 Первое уравнение задает семейство невертикальных прямых с угловым коэффициентом а, проходящих через начало координат О

15 Наименьшим является то значение а, при котором прямая из этого семейства касается окружности (см рисунок) Пусть XOB, а AOX Тогда a tg, AOB AOY и AOY получаем, что Поскольку tg AOY 5, а tg, 5 5 tgaoy tg tg tgaoy 5 Значит, tgaoy tg a 5 Ответ: 5