Разложение рациональных дробей на простейшие. Лекция 2

2 n n1 Пусть Pn ( z) anz an 1z a0, an 0 многочлен степени n с комплексными в общем случае коэффициентами. Теорема 1. Всякий многочлен степени n можно представить в виде k1 k k P ( z) a ( z z ) ( z z ) ( z z ) m, n n 1 m k1 k km n. где z корень кратности ki. i

3 Многочлены с действительными коэффициентами Рассмотрим многочлен n -ой степени с действительными коэффициентами в комплексной плоскости (действительный многочлен). Лемма. Pn( z) Pn( z ). Действительно. n n1 P () z a z a z a n n n1 0 n n1 a z a z a P ( z ). n n1 0 n P () n z 3

4 z a bi Следствие Если 0 - корень многочлена с действительными коэффициентами, то сопряжённое число z0 a bi также является корнем той же кратности. Действительно. Pn( z0) Pn( z0)

5 Разложение многочлена с действительными коэффициентами на множители Теорема. Всякий действительный многочлен степени n можно представить в виде 1 r P ( x) a ( x x ) ( x x ) n n 1 r 1 s ( x p x q ) ( x p x q ) ( 1) 1 1 ( ) n, 1 r 1 s s s x, xr где 1 - различные действительные корни многочлена P (, а x p - ix qi, i 1,, s n x ) действительные квадратные трёхчлены, имеющие комплексные корни. 5

6 Доказательство Теорема следует непосредственно из теоремы 1 и следствия, так как произведение множителей вида ( z z )( z z ), 0 0 соответствующих сопряженным корням преобразуется к виду ( z a bi)( z a bi) ( z a) b z pz q z, z 0 0 6

7 Пример Разложить на множители многочлены 3 1) P( x) x 1. Решение. По формуле сокращённого умножения имеем 3 P( x) x 1 ( x 1)( x x 1) ( x x1) Квадратный трёхчлен имеет комплексные корни, так как дискриминант D

8 Пример. 4 Q( x) x 1. 4 z 1 Решение. Многочлен имеет корни 1 i 1 i 1 i z1, z, z3, 1 i z4 8

9 Продолжение решения По теореме1 z 4 Итак, 1 i 1 i 1 i 1 ( z )( z )( z ) 1 i ( z ) ( z ) ( z ) ( z z 1) ( z z 1). 4 x 1 ( x x 1)( x x 1). 9

10 Рациональные дроби Рациональной дробью называется отношение многочленов Q ( x) Rx ( ) m ( ). Pn x Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе ( m n). В противном случае ( m n) дробь называется неправильной. 10

11 Замечание. Если дробь неправильная, то можно выделить целую часть. Пример. x x

12 Теорема о разложении рациональной дроби на элементарные дроби Rx ( ) Пусть - правильная рациональная дробь, знаменатель которой разложен по формуле (1) теоремы, причём a n 1. Справедливо и притом единственное разложение дроби вида Rx ( ) A11 A A ( x x ) ( x x ) x x A1r A A r rr r r1 ( x x ) ( x x ) x x r r r M 11x N M 11x N ( x p x q ) x p x q

13 Комментарии Коэффициенты разложения называются неопределёнными коэффициентами и вычисляются однозначно после приведения дроби к общему знаменателю. Дроби вида Aij, Mlk, Nlk A Mx N,, p 4q0 ( x a) ( x px q) называются элементарными дробями 1-го и -го типа, соответственно. 13

14 Примеры 1. x ( x 1)( x). x xx ( ) 14

15 Интегрирование элементарных дробей. "Рационализация" интегралов 15

16 Интегрирование элементарных дробей первого типа A ( x a) k Интегрирование элементарных дробей первого типа не вызывает проблем: A d( x a) k 1, dx A Aln x a C. x a x a k 1, k1 A k A( x a) dx A( x a) d( x a) C. k ( x a) k 1 16

17 Интегрирование элементарных дробей второго типа Mx N ( x px q) k Для вычисления интегралов Mx N, p 4q0. ( x px q) k надо, прежде всего, выделить полный квадрат в знаменателе и, выполнив замену, привести интеграл к виду At B dt. ( t a ) k 17

18 Интегрирование элементарных дробей второго типа Интегралы вида At B dt. t a Рекуррентные формулы для интегралов вида At B dt, k 3,, ( t a ) k 18

19 Интегрирование некоторых иррациональностей. Рационализация интегралов Рассмотрим интегралы вида r r r n 1 ax b ax b ax b R( x. ) dx cx d cx d cx d где r1, r,, r n рациональные числа. Если m - общий знаменатель этих чисел, то замена переменной m ax b t cx d приводит выражение под интегралом к рациональной дроби -рационализация. 19

20 Примеры 1. x dx 3 x. ( x a)( x b) dx 0

21 Интегрирование некоторых квадратичных иррациональностей Интегралы вида ( Mx N ) dx аналогично ax bx c элементарным дробям второго типа вычисляются выделением полного квадрата и последующей заменой переменных. Интегралы вида dx ( x ) ax bx c 1 вычисляются "обратной" подстановкой t x. 1

22 Примеры 1. x 3 x 6 x 1 dx. dx x x 8 x 4

23 Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка. Рассмотрим интегралы вида Замена переменной R sin x, cos x dx. t tg x, t t (cos x 1, sin x ). t 1 1 t называется универсальной тригонометрической подстановкой. Такая замена сводит подынтегральную функцию к рациональной дроби. 3

24 Пример 1. dx 1 sin x 4

25 Подстановка t tgx. Интегралы вида R( tgx) dx могут быть рационализированы подстановкой t tgx. Интегралы вида R sin x, cos x dx, где R sin x, cos x R sin x, cos x также вычисляются подстановкой t tgx или t ctgx. t 1 t tgx, (cos x, sin x ) 1t 1t 5

26 Примеры 1. sin sin x x cos cos x dx x. sin sin x x cos 4 4 dx x 6

27 Интегралы вида m n sin x cos xdx. а) Если m или n - целое положительное нечётное число, то производится "расщепление" нечётной степени. Например, 3 sin x cos xdx. Если m и n целые положительные чётные числа, то используются формулы понижения порядка 1cos x 1cos x sin x cos x, sin x, sin x cos x 7

28 Интегралы вида sinx cos xdx и т.п. Интегралы такого вида вычисляются путём преобразования произведений в сумму с помощью тригонометрических формул: 1 sin cos (sin( ) sin( )); 1 cos cos (cos( ) cos( )); 1 sin sin (cos( ) cos( )). 8

29 Тригонометрические подстановки Интегралы от квадратичных иррациональностей R( x, a x ) dx, R( x, x a ) dx, R( x, a x ) dx можно вычислить с помощью тригонометрических подстановок a x a cos t, x, x a tg t cos t 9

30 Пример Найти dx 3 ( x 3) 30

31 "Не берущиеся" интегралы Доказано, что следующие интегралы не интегрируются в элементарных функциях x e dx интеграл Пуассона, sin x dx интегральный синус, x dx интегральный логарифм. ln x 31

Разложение рациональных дробей на простейшие Лекция 5 1 Разложение многочлена на множители n n 1 Пусть Pn() z = az n + an 1z + L+ a0, an 0 многочлен степени n с комплексными в общем случае коэффициентами.

Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Методы интегрирования Методы интегрирования. Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе. Понятия о рациональных функциях и их свойствах. Интегрирование простейших рациональных дробей. Теорема

57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функция и неопределённый интеграл первообразной Лемма Функция F( называется первообразной для функции f( на промежутке X, если F ( = f( X Функция,

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Простейшие неопределенные интегралы Примеры решения задач Следующие интегралы сводятся к табличным путем тождественного преобразования подынтегрального выражения. 1. dx = dx = 2x 2/3 /3 + 2x 1/2 + C. >2.

Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Лекция. Элементы теории многочленов. Многочлен (некоторые сведения справочного характера) Функция вида: 1 P ( x) a0x a1x. a 1x a = + + + + (1) где натуральное число a i ( i = 01. ) постоянные коэффициенты

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: ВПБелкин Лекция Неопределенный интеграл Основные понятия Свойства неопределенного интеграла 3 Основная таблица первообразных 3 4 Типовые примеры 3 5 Простейшие

"В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие" -площади плоских фигур и поверхности; -объема и массы тела; -статистическиих моментов и моментов инерции плоской фигуры, материальной

ЛЕКЦИЯ. Методы интегрирования..интегрирование по частям..рациональные дроби. Разложение правильной дроби на простейшие. интегрирование рациональных дробей..интегрирование по частям. Пусть u и v две непрерывные

5. 4 Основные методы интегрирования Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов, основанное на приведение подынтегрального выражения к табличной форме и использование свойств неопределенного

Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Занятие 5 Интегрирование тригонометрических выражений 5. Вычисление интегралов вида sin m x cos n x Разобьем интегралы этого вида на три случая. Здесь m и n целые. Случай. Либо m, либо n нечётно. Пусть,

Лекция ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (5) Интегрирование некоторых иррациональных функций Квадратичные иррациональности Интеграл вида Выделение полного квадрата

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов Тригонометрические формулы k m [ ( m k ( m k ], ( k m [ ( m k ( m k ], ( k m [ ( m k ( m k

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса

Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Неопределенный интеграл» (для студентов

Математический анализ Раздел: Неопределенный интеграл Тема: Интегрирование рациональных дробей Лектор Пахомова Е.Г. 0 г. 5. Интегрирование рациональных дробей ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рациональной дробью называется

Тема Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Интегрирование по частям Пусть u и v две дифференцируемые функции одного и того же аргумента Известно, что d( u v) udv vdu (77) Возьмем от обеих

Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ ВЫСШАЯ

Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль 1. Неопределенный интеграл Лекция 1.2 Аннотация Рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших. Интегрирование простейших

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функция и неопределённый интеграл первообразной Функция F() называется первообразной для функции f() на промежутке X, если F / () = f() X.

Интегрирование рациональных функций Для интегрирования рациональной функции последовательность шагов:, где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая 1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) степени

Многочлены и их корни Определение: Многочленом степени n (n N) называется всякое выражение вида: P n (z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0, где a n, a n 1, a 1, a 0 R, a n старший коэффициент, a

Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции Пусть f(x) функция, определенная на множестве Х; А и а числа. Опр. Число А называется пределом функции f(x) при xa, если >0 такая -окрестность

Лекция.. Интегральное исчисление Неопределенный интеграл Определение Функция F) называется первообразной для функции f) на отрезке [;], если для всех [;] выполнено равенство F)f) Примеры f ) F ) Замечание

- - МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ЕА Жукова, ЛД Жулева НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Справочный материал и пособие к практическим занятиям и СРС для студентов и курсов

Руководство по высшей математике для проведения практических занятий и самостоятельной работы студентов. 2 семестр. В.С.Куликов, И.А.Джваршейшвили, М.А.Климова Оглавление I Неопределенный интеграл 9 1

Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Правильные рациональные дроби вида где Интегрирование простейших рациональных дробей. A a I A, k a kn, k II M N, p q0 pq III M N, p q0, k pq kn, k IV A, M, N, a, p, q R, называются простейшими рациональными

Лекция Разложение рациональной дроби на простейшие Аннотация: Доказывается, что из неправильной дроби можно выделить целую часть, а правильную дробь разложить на простейшие Рациональной дробью (рациональной

Математический анализ Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. http://www.tpu.ru/ Национальный исследовательский

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И ТЕЛЕВИДЕНИЯ» Кафедра математики и информатики

Èíòåãðèðîâàíèå èððàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Интегрирование простейших иррациональностей. Подстановки Эйлера. Интеграл от дифференциального бинома. Интегрирование иррациональностей

Типовые задачи c решениями. Гамма-функция Пример. Найти произведение = 3. Решение. Прежде всего проведем переиндексацию +, чтобы произведение начиналось с единицы. В результате получим +. 3 Далее разложим

Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Многочлены и их корни 2018 г. Гущина Елена Николаевна Определение: Многочленом степени n n N называется всякое выражение вида: P & z = a & z & + a &+, z &+, + + a, z + a., где a &, a &+,, a,, a. R, a &

57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Тема Неопределенный интеграл Практическое занятие Первообразная и неопределенный интеграл Определение первообразной функции Неопределенный интеграл и его геометрический смысл Основные свойства неопределенного

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ 0 степенные ии l показательные ии l дробные рациональные и иррациональные ии 5 rg 6 l 7 rsi 8 l тригонометрические ии 9 si 0 si g g si гиперболические ии sh h h sh 5 h h 6 h sh f F C

1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +. + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Èíòåãðèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè åñêèõ ôóíêöèé Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Интегрирование тригонометрических функций с помощью различных подстановок. Универсальная тригонометрическая подстановка. Интегрирование

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ

Глава 4. Интеграл 1. Неопределенный интеграл 1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, если x X: F'(x) = f(x). Пример

типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

ИМЭИ ИГУ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Гражданцева ЕЮ, Дамешек ЛЮ В пособии излагается основной теоретический материал по теме: Неопределенный интеграл Приводятся

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. 2. Задача интегрального исчисления. Свойства первообразных. Свойства неопределённого интеграла.

ЛЕКЦИЯ N. Интегрирование тригонометрических функций и иррациональных выражений.. Интегрирование тригонометрических выражений. интегрирование иррациональностей. Интегрирование тригонометрических

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение. 3 Глава. Неопределенный интеграл. 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.

Экзаменационный билет 1 1. Преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот. Действия с дробями. 2. Определение функции. Способы задания, область определения, область значений функции. 2 x 1 x x 1

Алгебраические многочлены. 1 Алгебраические многочлены степени n над полем K Определение 1.1 Многочленом степени n, n N , от переменной z над числовым полем K называется выражение вида: fz = a n z n

Многочлены 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач Пусть P k ( z) pk z многочлен k0 степени, и пусть a некоторое комплексное число. Определение 1. Число a, aс, называют корнем алгебраического

Глава Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Изучая дифференциальное исчисление, мы, в частности, рассматривали следующую задачу: на интервале числовой оси задана функция, надо

Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Занимаясь дифференцированием функций, мы по данной функции находили ее производную Сейчас перейдем к обратной задаче: найти функцию, зная

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МАХАЧКАЛИНСКИЙ ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧЕРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕСИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОГО АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО

Математический анализ Часть. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика»

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ II для напр. «Прикладная математика и информатика» Учебное пособие под редакцией проф. И.Ю. Попова Санкт-Петербург 3 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

Билет.. Определение матрицы (с примерами квадратной и прямоугольной матриц).. Геометрический смысл многочлена Тейлора первого порядка (формулировка, пример, рисунок). ( x) ctg(x). 4. Метод хорд графического

или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Министерство образования Российской Федерации «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского Кафедра «Высшая математика» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты

Математический анализ Часть. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика»

ГЛАВА 5 НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Понятия первообразной и неопределённого интеграла П Понятие первообразной Основной задачей дифференциального исчисления является задача нахождения производной данной функции

СА Лавренченко wwwlawencenkou Лекция 7 Интегрирование рациональных функций На этой лекции мы научимся интегрировать рациональные функции Рациональная функция это отношение двух полиномов, те функция вида

Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ: ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ И МАТЕМАТИКА В первой части лекции будет показано, как в качестве тренировки преобразований выражений научиться решать уравнения 3-й и 4-й степени.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ -------------------------------------------------------------------------------------------------

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» А А АТВИНОВСКИЙ И В ПАРУКЕВИЧ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Чувашский государственный университет имени

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ "Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина" МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Неопределенный интеграл Электронный учебно-методический комплекс для студентов физического факультета

Занятие 4 Интегрирование рациональных функций (продолжение) Рациональной функцией (или, по-просту, дробью) называется отношение двух многочленов, то есть функция вида R() = f() g() = a 0 m + a m +. +

Интегрирование некоторых иррациональных функций Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует

Неопределенный интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл. Как по данной функции fх найти такую функцию Fх, производная которой равна данной функции. Опр. Функция Fх называется первообразной от

ПРЕДИСЛОВИЕ Математика как учебная дисциплина прочно заняла место в учебны плана нематематически специальностей высши учебны заведений Для специалиста нематематического профиля важно понимать роль и место

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

В-5, В-1 Весна 8 Содержание Условные обозначения 1. Неопределённый интеграл 3 1.1. Понятия первообразной и неопределённого интеграла. 3 1.. Основные свойства неопределённого интеграла.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ» Кафедра высшей математики

Горбачев НЕ Многочлены от одной переменной Решение уравнений степени Понятие многочлена Арифметические операции над многочленами Опр Многочленом (полиномом) -й степени относительно переменной величины

ГЛАВА НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Понятия первообразной и неопределённого интеграла П Понятие первообразной Основной задачей дифференциального исчисления является задача нахождения производной данной функции

Решение типовых вариантов контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной Методические указания УДК 517.91 Методические указания содержат подробные решения типовых вариантов контрольной работы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ МАТЕМАТИКА Программа «11 класс» 2013-2014 учебный год Часть 1, алгебра и начала анализа Оглавление Глава 1. Содержание курса и контрольных работ.

Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно функции y и её производных y. y (n) т. е. имеет вид a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +. + a ny = f (x), где

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДНР ГОУВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ В ФОРМЕ СОБЕСЕДОВАНИЯ И В ФОРМЕ ПИСЬМЕННОГО

Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края «Армавирский машиностроительный техникум»

Определенный интеграл. Основные формулы и теоремы. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница f ( ) F( ) F( ) F( ); () где F() - одна из первообразных для f(), т.е. F f ( ) () Замечание:

1. Что такое первообразная для функции? 2. Для каких функций существуют первообразные? 3. Как связаны между собой две первообразные для одной и той же функции? 4. Что такое неопределённый интеграл от функции?

РАЗДЕЛ V Интегральное исчисление функций одной переменной Введение «Ни для кого не секрет, что математику учат, решая задачи, а не наблюдая, как их решают другие». М.Рид, В. Саймон, Методы современной

МИНИСТЕРСТВО ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра высшей математики Телкова СА ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ ВОРОНЕЖ - 9 УДК 7 Т 8 Рецензенты: Профессор кафедры алгебры и топологических