ЗАКОНОМЕРНОСТЬ ГАРМОНИЧНА? ИЛИ ОБ ОТОБРАЖЕНИИ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ НА МНОЖЕСТВО НУМЕРОЛОГИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ

Г. ГОРДЕНКО, учащийся 1-го курса техникума космического приборостроения (Москва).

С интересом ознакомился со статьей Саши Ниходовского "Игра с числами" ("Наука и жизнь" № 3, 2006 г.), в которой он экспериментально доказал постоянство конечной суммы (нумерологического числа) для чисел, получаемых в результате суммирования группы чисел, составленных из цифр путем их произвольной выборки без возвращения из некоторого фиксированного множества, причем выбранными должны быть все элементы множества цифр, в том числе и повторяющиеся.

Математик И. Тебляшкин из Великобритании в статье "Серьезные игры с числами" ("Наука и жизнь" № 6, 2006 г., стр. 65) дал доказательство обнаруженных Сашей свойств, которое основано на свойствах остатков от деления на число 9 - на единицу меньшее, чем основание чисел - 10 (все рассуждения касаются чисел, представленных в десятичной системе), а также на условии, что нулевой остаток считается равным 9. Эти результаты несложно обобщить и на числа, представленные по любому другому основанию.

Если у Саши Ниходовского стимулом к числовым экспериментам послужило изучение в классе арифметических действий, то в моем случае таким стимулом можно считать представление чисел как количественной характеристики в различных системах счисления, а также в виде, удобном для целей программирования. По этой причине меня преимущественно интересовало то, как изменяется конечная сумма (нумерологическое число) для чисел, составляющих какую-либо функцию натурального ряда, то есть образующих последовательность. Было интересно узнать: преобразуется ли каким-либо образом закономерность последовательности в закономерность для конечных сумм ее членов или соответствующий ей ряд нумерологических чисел выстроится случайно? Обычные инженерные калькуляторы служат для этого наиболее доступным инструментом, но можно подумать и над созданием соответствующих компьютерных программ для более глубоких исследова ний. Например, было бы интересно, приписав каждой цифре от 1 до 9 определенный цвет, построить с помощью компьютера "спектральную" картинку той или иной цифровой последовательности. Ниже приведу некоторые результаты выполненных экспериментов.

Напомню, что под конечной суммой k N числа N (нумерологическое число, по И. Тебляшкину), представленного в позиционной форме, понимается результат последовательного сложения сначала цифр самого числа, затем цифр первой, второй и последующих сумм до тех пор, пока конечная сумма не будет выражена единственной цифрой в интервале от 1 до 9. Вопрос о связи между закономерностью, задающей последовательность, и поведением нумерологических чисел ее членов для интересующего меня класса последовательностей можно переформулировать так: как, не разворачивая в позиционную запись число, представленное в виде натуральной степени n какого либо натурального основания p ( N = p n ), определить для него конечную сумму k ( p | n )?

Опыты, проделанные с числами такого рода, большими 9, с основаниями от 1 до 9, дают следующий результат.

Конечная сумма k (1 |n ), очевидно, равна 1 и постоянна, не зависит от n . При этом в качестве периода Т следует принять шаг изменения значения n : T 1 = 1.

Конечная сумма k (2| n ) чисел вида 2 n является периодической функцией показателя степени n с периодом T 2 = 6, то есть k (2| n + T 2 ) = k (2| n ) для любых n и принимает значения k i = , где индекс i пробегает значения i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Аналогично опытным путем для оснований 3 - 9 (для чисел больше 9) можно установить, что:

k (3 |n ) - постоянна, T 3 = 1, k i = , i = 1;

k (4| n ) T 4 = 3, k i = , i = 1, 2, 3;

k (5| n ) T 5 = 6, k i = , i = 1, 2, 3, 4, 5, 6;

k (6| n ) - постоянна, T 6 = 1, k i = , i = 1;

k (7| n ) T 7 = 3, k i = , i = 1, 2, 3 ;

k (8| n ) T 8 = 2, k i = , i = 1, 2 ;

k (9| n ) - постоянна, T 9 = 1, k i = , i = 1.

Чтобы получить единственное значение k ( s | n ) для цифр с основаниями s от 1 до 9 при заданном значении числа n , следует найти целую часть от деления n / T s , которую обозначим через [ n / T s ], затем составить разность i = < n - [ n / T s ] · T s >и, наконец, выбрать из приведенного множества значений конечной суммы то единственное значение k i , которое стоит на i -том месте, то есть воспользоваться формулой

k ( s | n ) = k i , где i = < n - [ n / T s ] · T s >.

Например, пусть s = 5, n = 1793. Чтобы найти k (5|1793), вычисляем: 1793/ Т 5 = 1793/6= = 298,8333…, целая часть составляет 298. Далее: 1793 - 298·6 = 5, i = 5 и для основания 5 k 5 = 2. Итак: k (5|1793) = 2.

При переходе к многозначным основаниям можно, опять же опытным путем, получить следующий интересный результат:

k ( p | n ) = k i ( k p | n ), где i = < n - [ n / T ( k p )] · T ( k p )>,

где k p - конечная сумма для основания p ; T ( k p ) - значение периода для конечной суммы чисел вида ( k p ) n , определяемое в соответствии с вышеприведенными правилами; k i ( k p | n ) - i -тое значение конечной суммы для числа вида ( k p ) n из числа периодически принимаемых значений, а скобки […] по-прежнему обозначают целую часть числа.

Пусть, например, требуется найти конечную сумму числа 569 35817 : k (569|35817).

Последовательное вычисление для основания 569 сумм (5 + 6 + 9) = 20, (2 + 0) = = 2, дает значение k p = 2. Значение T ( k p ) соответствует периоду чисел с основанием 2, то есть T 2 = 6. Тогда для порядкового номера i значения, которое примет конечная сумма k i ( k p | n ), получаем числовое выражение:

Согласно приведенным результатам, третьим значением в ряду значений k i = для основания 2 будет число 8. Таким образом, утверждается, что k (569|35817) = 8.

В связи с изложенным выше возникают вопросы, ответы на которые хотелось бы получить при посредничестве редакции журнала.

1. Известны ли какие-то результаты, в которых раскрываются связи между свойствами числовых последовательностей и последовательностями соответствующих нумерологических чисел, найденных для членов последовательности или для частичных сумм таких членов?

2. Какие подходы и литература могут быть рекомендованы для углубленных теоретических исследований подобных вопросов?