Комплексные числа, функции и действия над ними. x=re z действительная часть z действ. число, y=im z мнимая часть z действительное число

1 Комплексные числа, функции и действия над ними y модуль R действительная часть действ число, yim мнимая часть действительное число iy алгебраическая форма записи компл числа Главное значение аргумента y rcg, I, IV четверть y rg rcg π, II четверть y rcg π, III четверть π < π Arg rg π Правильный -угольник - iππ i iππ iy iπ R i π -i i-ππ Показательная форма записи компл числа i π i. - Формула Эйлера i cos isi Тригонометрическая форма записи комплексного числа cos isi i cos ch i si sh i i i sh isii ch cosi Arcsi w si w iw i iw iw iw i iw i wi iw i ± w Arcsi il i ± Arcsi il i ± Arc cos il ± i i Arcg L i i i Arccg L i L L L l i π

2 Глава Преобразование Лапласа Операторный метод решения дифференциальных уравнений Основные понятия и определения преобразования Лапласа преобразования Лапласа Преобразованием интегралом Лапласа функции, R, которая может принимать и комплексные значения, называется функция комплексной переменной σ iω, определяемая следующим равенством: Если функция R удовлетворяет следующим условиям: интегрируема, ;, < ; σ 3 M, M cos, σ cos, то функция R называется оригиналом, а интеграл Лапласа p полуплоскости d p d сходится абсолютно и равномерно во всей R σ > σ Лапласу единичной функции Хевисайда по Функцию называют изображением для R Обозначают соответствие между оригиналом и изображением одним из следующих способов:, L, [ ] Единичной функцией Хевисайда называется функция при, η при < Основные свойства преобразования Лапласа для Пусть функции R > σ. являются ми, причём Тогда имеют место следующие свойства теоремы: Свойство линейности Для любых постоянных C. C C, R > m < σ, σ,, σ >Теорема подобия Для любой постоянной ω >

3 ω, R ωσ ω ω > 3 Теорема смещения в области оригиналов запаздывания Запаздыванию на τ соответствует умножение на τ : τ τ, R > σ 4 Теорема смещения в области изображений Умножению на на : соответствует запаздывание, R > σ 5 Теорема дифференцирования 6 Теорема дифференцирования Если и её производные. являются ми, то для любого,, имеют место соответствия: ; ; Умножению на множитель соответствует дифференцирование по его аргументу Р: ; ; 7 Теорема интегрирования Интегрирование по промежутку ; приводит к делению подынтегральной функции на Р: τ dτ, R > σ 8 Теорема интегрирования Если является оригиналом, то: d То есть, интегрирование по промежутку

4 , приводит к делению на подынтегральной функции 9 Теорема об изображении периодического Если, где, <,, < T,, > T, причём функция при > T периодическая с периодом Т, то T Дифференцирование и интегрирование по параметру Если. и функции, и, d как функции аргумента являются ми, то,, и, d, d Теоремы о связи начальных и конечных значений и Если, то а lim и если существует конечный предел lim б lim Таблица основных изображений 7 cosω ω 8 ω siω ω 3 4 ω siω ω cosω ; ω 9 ω sh ω ω ch ω ω 5!!

5 6!R iω ω cos ω!im iω ω si ω Отыскание по изображению Первый способ Разложение дроби, соответствующей изображению, на сумму простых дробей и использование свойств оригиналов, изображений и таблицы основных изображений Второй способ По формулам обращения Первая теорема Если изображение является аналитической функцией в разложения некоторой окрестности бесконечно удалённой точки, и её разложение в ряд по степеням имеет вид:, то функция,! > при < является оригиналом, имеющим изображение, то есть справедлива формула обращения. > при < Вторая теорема разложения Если изображение является однозначной функцией и имеет лишь конечное число изолированных особых точек. лежащих в конечной части плоскости, то имеет место формула обращения: rs, то есть оригинал равен сумме вычетов функции изолированных особых точках. во всех её Тип изолированной особой точки Простой полюс Р к : lim cos Формула обращения rs Формула вычисления вычета rs rs lim ; K rs ψ ψ m-кратный полюс Р к : lim m cos m d rs lim m K m! d m

6 Замечание Тип изолированной особой точки легко определить по степени m скобки m в представлении знаменателя функции в виде произведения линейных сомножителей: если m, то полюс первого порядка простой полюс, если m >, то полюс является m кратным Вторая теорема разложения другая формулировка Если изображение является правильной несократимой Aw рациональной дробью, те, w <, и если B знаменатель дроби имеет корни. s соответственно кратности m, m, ms m m ms, то оригинал определяется по формуле: s m d Aw m lim m! m d B Свёртка оригиналов Интеграл Дюамеля Теорема умножения изображений Бореля о свёртке оригиналов Интеграл Дюамеля Произведению изображений соответствует свёртка их оригиналов: τ τ dτ τ τ dτ * где интегралы τ τ dτ τ τ dτ называют свёрткой оригиналов, которую обозначают: * Если и g G, то G g g g g Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Правые части ДУ произвольного вида, начальные условия нулевые: Интегрирование линейных дифференциальных уравнений формулами Дюамеля б τ τ dτ, или ; ; τ τ dτ, или τ τ dτ, или τ τ dτ Правые части ДУ табличные, начальные условия произвольные: ;,,