Раздел 1. Элементы векторной алгебры в пространстве

Литература: [1], §§ 1-4, стр. 1-5; [2], §§ 2-4, стр. 10-14.

Основные определения, теоремы и формулы

Отрезок называется направленным, если указаны его начало и конец. Если A – начало, а B – конец направленного отрезка, то такой направленный отрезок обозначается так: .

Два направленных отрезка называются эквипаллентными, если они одинаково направлены и имеют равные длины.

Н апример, пусть ABCD – квадрат. Тогда направленные отрезки и эквиполлентны, и не эквиполлентны, они имеют одинаковые длины, но разные направления.

Вектор – это множество направленных отрезков, любые два из которых эквиполлентны. Вектор обозначается одной буквой, над которой ставится стрелка: . Если направленный отрезок - представитель вектора , то направленный отрезок вполне определяет весь класс ему эквиполлентных направленных отрезков. Поэтому если , то вектор обозначают также через .

В озьмем произвольные векторы и . От какой-нибудь точки А отложи вектор = , а затем от точки В отложим вектор . Вектор называетсясуммой векторов и и обозначается так: . Это правило сложения векторов называетсяправилом треугольника: + = .

И ногда векторы удобно складывать поправилу параллелограмма, например, на приведенном ниже рисунке сумма векторов найдена по правилу параллелограмма: .

Теорема: Для произвольных векторов , и справедливы следующие равенства:

Разностью двух векторов и называется вектор такой, что + = . Разность векторов и обозначается - . По правилу треугольника = - .

Вопросы для самоконтроля

Как определяется прямое произведение двух множеств?

Что такое отношение  на множестве М?

Какие можете привести примеры отношений на множестве?

Какое отношение называется отношением эквивалентности? Приведите примеры отношений, которые:

Какой отрезок называется направленным?

Какие направленные отрезки называются эквиполлентными? Какие отрезки будут не эквиполлентными?

Сформулируйте и докажите признак эквивалентности направленных отрезков.

Что такое вектор? Нуль-вектор? Какие величины в природе изображаются векторами? Является ли векторной величиной: 1) работа; 2) объем; 3) вес? Если да, то куда эта величина направлена?

Сформулируйте и докажите лемму о равенстве векторов.

Сформулируйте и докажите утверждение об откладывании вектора от точки.

Как определяется сумма двух векторов? Покажите на чертеже.

Докажите коммутативность сложения векторов.

Докажите ассоциативность сложения векторов.

В чем смысл “правила многоугольника”?

Пример 1. Показать, что если для любых трех векторов , и имеет место равенство , то из их представителей можно составить треугольник.

Р ешение.Равенство согласно правилу сложения векторов означает, что если начало вектора совместить с концом вектора , а начало вектора - с концом вектора , то конец вектора совместится с началом вектора , т.е. ломанная, составленная из векторов замкнется, образуя треугольник.

Задание: Нарисуйте три вектора, из которых нельзя составить треугольник.

Пример 2. Пусть АВСD параллелограмм, и О – точка пересечения его диагоналей, M – середина стороны AD. Полагая и , выразить через и векторы , и .

Р ешение.По правилу многоугольника для сложения векторов имеем: ; ; ; и др.

Из возможных способов выберем тот, при котором из точки А можно прийти в точку В, двигаясь только по известным векторам. В данном случае выбираем способ:

. Так как , то . Аналогично находим: .

1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Указать, какие из следующих пар направленных отрезков эквиполлентны: а) и ; б) и ; в) и ; г) и .

2. Доказать, что направленные отрезки AB и CD эквиполлентны тогда и только тогда, когда середины отрезков AD и BC совпадают.

3. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, а точки E и F – соответственно середины отрезков BC и AD. Построить следующие векторы:

4. Доказать, что для произвольных векторов и справедливо равенство - (- )= + .

5. Даны параллелограмм ABCD и произвольная точка O пространства. Доказать, что

6. Даны три точки A, B и C. Построить точку P такую, чтобы .

7. A, B, C и D – произвольные точки пространства, M и N – середины отрезков AD и BC. Доказать, что 2 . Какие можно вывести следствия из последнего утверждения?

8. Доказать, что для произвольных векторов и справедливы следующие соотношения: а) . При каком условии в этих соотношениях имеет место знак равенства?

9. Что можно сказать о векторах, для которых выполнено соотношение: а)   (- ); б) ( + )‌ ‌ - ?

10. Треугольники ABC и AB1C1 имеют общую медиану AM. Доказать, что в этом случае

11. Записать в векторной форме необходимое и достаточное условие того, что четырехугольник ABCD – параллелограмм.

Задачи повышенной трудности

1. В пространстве дана фигура, состоящая из конечного числа точек, симметричных относительно точки C. Доказать, что сумма всех векторов с общим началом и концами в точках данной фигуры равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда общим началом векторов является точка C.

2. В выпуклом пятиугольнике ABCDE BC║AD, CD║BE, DE║AC, AE║BD. Доказать, что AB║CE.

3. Периметр пятиугольника равен I. Строятся последовательно пятиугольники с вершинами в серединах сторон предыдущих пятиугольников. Доказать, что сумма периметров всех этих пятиугольников не больше 8.

Домашнее задание

Пусть A, B, C, D – произвольные точки пространства, а M, N, P, Q – соответственно середины отрезков AB, BC, CD, DA. Доказать, что направленные отрезки MH QP эквиполлентны.

Точки M, H – середины ребер AA1 и BB1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 с центром O. Построить следующие векторы:

Доказать, что если для четырех точек A, B, C, D, не лежащих на одной прямой, и некоторой точки O пространства имеет место равенство то ABCD – параллелограмм.