Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную
Перевод из восьмеричной системы в шестнадцатеричную системы удобнее выполнять через двоичную систему.
357218 = 11 101 111 010 0012=11 1011 1101 00012=3ВD116
Перевод из шестнадцатеричной в восьмеричную
Перевод из шестнадцатеричной системы в восьмеричную удобнее выполнять через двоичную систему.
3ВD116 =0011 1011 1101 00012 =
Практические примеры
Пример 1
Число 71 в некоторой системе с основанием x записывается как 56x. Найти основание этой системы счисления.
Представим это число в развернутой форме:
71 = 56x = 5 × х 1 + 6 × х 0 = 5 × х + 6.
Решая уравнение 71 = 5 × x + 6 относительно неизвестного x, получаем x = 13. Значит, искомое основание системы – 13.
Пример 2
Число 71 в некоторой системе с основанием x записывается как 155x. Найти основание этой системы счисления.
Представим это число в развернутой форме:
71 = 155x = 1 × х 2 + 5 × х 1 + 5 × х 0 = х 2 5 × х + 5.
Решая уравнение 71 = x 2 + 5 × x + 5 относительно неизвестного x, получаем два решения, x1 = –11 и x2 = 6. Искомое основание положительно, поэтому выбираем ответ 6.
Пример 3
Найти все основания систем счисления, в которых запись числа 24 оканчивается на 3.
Здесь удобно использовать схему Горнера, из которой сразу следует
24 = k × x + 3,
где x – неизвестное основание системы счисления, а k – некоторое натуральное число или 0.
Отсюда сразу получаем 21 = k × x, то есть все интересующие нас основания являются делителями числа 21. Это могут быть 3, 7 и 21. Поскольку последняя цифра числа – 3, основание не может быть равно 3 (в троичной системе нет цифры 3), поэтому условию задачи удовлетворяют только основания 7 и 21.
Пример 4
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.
· здесь – неизвестно основание системы счисления, обозначим его через
· поскольку последняя цифра числа – 2, основание должно быть больше 2, то есть
· вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием , из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на
Решение:
1) нужно найти все целые числа , такие что остаток от деления 23 на равен 2,
где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);
2) из формулы получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 21, которые больше 2;
3) в этой задаче есть только три таких делителя: и ;
4) таким образом, верный ответ – 3, 7, 21 .
Пример 5
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 11.
Общий подход:
· неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через ;
· пока будем считать, что запись числа 31 в системе с основанием состоит из трех цифр, причем две младшие (11) нам даны, а одну (обозначим ее через ) нужно найти:
31 = k 11N = k · N 2 + N 1 + N 0 = k · N 2 + N + 1;
· можно показать, что при большем количестве разрядов эта формула также верна, то есть, число 31 можно представить как при некотором целом ; например, для числа с пятью разрядами получаем:
4 3 2 1 0 ← разряды
= k · N 2 + N + 1
для (из первых трех слагаемых вынесли общий множитель ).
Решение:
1) итак, нужно найти все целые числа , такие что
где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);
2) сложность в том, что и , и неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа;
3) из формулы (*) получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 30 и отобрать только те из них, для которых уравнение (*) разрешимо при целом , то есть, – целое число;
4) выпишем все делители числа 30, большие или равные 2: 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30;
5) из всех этих делителей только для 2, 3, 5 и 30 значение – целое число (оно равно соответственно 7, 3, 1 и 0);
6) таким образом, верный ответ – 2, 3, 5, 30.
Пример 6
Найти все десятичные числа, не превосходящие 40, запись которых в системе счисления с основанием 4 оканчивается на 11.
Используя схему Горнера, находим, что все интересующие нас числа имеют вид
N = k × 4 2 + 1 × 4 + 1 = k × 16 + 5 ,
где k – некоторое натуральное число или 0. Подставляя k = 0, 1, 2, 3, …, находим соответствующие числа N = 5, 21, 37, 53, …. Из них только 5, 21 и 37 удовлетворяют условию (не больше 40).
Пример 7
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11
· младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на , а две младших цифры – это остаток от деления на и т.д.;
· в данном случае , остаток от деления числа на должен быть равен 114 = 5;
· потому задача сводится к тому, чтобы определить все числа, которые меньше или равны 25 и дают остаток 5 при делении на 16.
Решение
1) общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16:
где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);
2) среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 (не превосходят 25); их всего два: 5 (при ) и 21 (при );
3) таким образом, верный ответ – 5, 21 .
Пример 8
Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 10, 11, 12, …, 17 в системе счисления с основанием 5.
Решение
1) запишем первое и последнее число в заданном диапазона в системе счисления с основанием 5:
2) заметим, что оба они содержат цифру 2, так что, 2 цифры мы уже нашли;
3) между 205 и 325 есть еще числа
4) в них 5 цифр 2 (в числе 225 – сразу две двойки), поэтому всего цифра 2 встречается 7 раз;
5) таким образом, верный ответ – 7.
Контрольные вопросы
1. В чем отличие позиционной системы счисления от непозиционной?
2. Дать определение системы счисления.
3. Какие символы используются для записи чисел в двоичной системе счисления, восьмеричной, шестнадцатеричной?
4. Чему равны веса разрядов слева от точки, разделяющей целую и дробную часть в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной)?
5. Чему равны веса разрядов справа от точки, разделяющей целую и дробную часть в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной)?