Подготовка учащихся к сдаче экзамена в форме ЕГЭ по теме "Тригонометрия"

Подготовка учащихся к сдаче экзамена в форме ЕГЭ по теме "Тригонометрия"

Цель: повторить определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, основные тригонометрические тождества, теорему Пифагора.

Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен 90º, sin A=7/25. Найдите cos A.

Решение: по основному тригонометрическому тождеству имеем:

sin 2 A+ cos 2 A=1; cos 2 A=1– sin 2 A; cos 2 A=1– (7/25) 2 ; cos A=24/25.

Задача 2. В треугольнике ABC угол C равен 90º, tg A=√91/3 . Найдите cos A.

Решение: подставив в тождество 1+ tg 2 A=(1/cos 2 A) числовое значение тангенса, получим

1+( √91/3) 2 =(1/cos 2 A); cos A=0,3.

Задачи на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника решаются по следующему алгоритму:

  1. Выделяем треугольник, в который входит сторона или угол, который нам нужно найти.
  2. Смотрим, какие элементы треугольника нам известны, и с помощью какой тригонометрической функции они между собой связаны.
  3. Записываем соотношение, которое связывает между собой эти элементы.

Задача 3. В треугольнике ABC угол C равен 90º, АВ=5, sin A=7/25 . Найдите АC.

Решение: по определению sin A=BC/AB; 7/25 = BC/5. Откуда ВС=1,4.

Далее, по теореме Пифагора имеем

АС 2 +СВ 2 =АВ 2 ; АС 2 =25-1,96; АС=4,8.

Задания для самостоятельной работы:

В треугольнике ABC угол C равен 90º, sin A=√17/7 . Найдите tg A.

  1. В треугольнике ABC угол C равен 90º, cos A=√51/10 . Найдите sin A.
  2. В треугольнике ABC угол C равен 90º, cos A=5/√34 . Найдите tg A.
  3. В треугольнике ABC угол C равен 90º , tg A=√11/33 . Найдите sin A.
  4. В треугольнике ABC угол C равен 90º, tg A=24/7 . Найдите cos A.
  5. В треугольнике ABC угол C равен 90º, cos A=0,5, АВ=8. Найдите AC.
  6. В треугольнике ABC угол C равен 90º, АВ=7, tg A=33/4√33. Найдите AC.
  7. В треугольнике ABC угол C равен 90º, АС=4√15, sin A=7/17. Найдите АВ.
  8. В треугольнике ABC угол C равен 900, АС=0,5, cos A=√17/17. Найдите BC.
  9. В треугольнике ABC угол C равен 900, АС=24, ВС=7. Найдите sin A.

Занятие 2. Значения тригонометрических функций, свойства тригонометрических функций. (1 ч).

Цель: повторить все основные свойства этих функций, градусную и радианную меру углов, области определения и значений, промежутки знакопостоянства.

Задача 1. Найдите значение выражения: -4√3cos(-750º).

Решение: -4√3cos(-750º) = -4√3cos(750º) = -4√3cos(2*360º+30º) = -4√3cos30º = -4√3(√3/2) = 3.

Задача 2. Найдите значение выражения 36√6 tg(π/6) sin(π/4).

Решение: 36√6 tg(π/6) sin(π/4) = 36√6(√3/3)(√2/2) = 36.

Задача 3. Найдите 3 cos α, если sin α = -(2√2/3) и α ∈(3π/2;2π).

sin 2 α + cos 2 α =1; cos 2 α = 1 – sin 2 α;

cos α=±√(1/9); α – угол IV четверти, значит cos α=1/3; 3 cos α=3*1/3=1.

Задача 4. Найдите tg 2 α, если 4sin 2 α + 9cos 2 α = 6.

Решение: 4sin 2 α + 9cos 2 α=6;

4sin 2 α + 4cos 2 α+5cos 2 α=6; 4+5cos 2 α=6; 5cos 2 α=2; cos 2 α=0,4

sin 2 α = 1-cos 2 α; sin 2 α =0,6; tg 2 α = (sin 2 α)/cos 2 α = 0,6/0,4 = 1,5.

Задача 5. Найдите (3cos α - 4sin α)/(2sin α - 5cos α), если tg α = 3.

Задания для самостоятельной работы:

Найдите значение выражения:

Занятие 3. Формулы приведения. (1 ч).

Цель: повторить формулы приведения, научить пользоваться мнемоническим правилом приведения функции произвольного угла к функции острого угла.

Задача 1. Найдите значение выражения

Задача 2. Найдите значение выражения

Задача 3. Найдите значение выражения

Задача 4. Найдите sin ((7π/2)-α), если sin α = 0,8 и α ∈(π/2;π).

Решение: sin 2 α + cos 2 α =1; cos 2 α = 1– sin 2 α;

cos α = ±0,6; α – угол II четверти, значит cos α=0,6;

sin ((7π/2)-α) = sin (2π + (3π/2)-α) = sin ((3π/2)-α) = -cos α = -0,6.

Задания для самостоятельной работы:.

Найдите значение выражения:

Занятие 4. Формулы сложения, двойного аргумента, формулы понижения степени. (1 ч).

Цель: повторить формулы сложения, двойного угла и половинного угла.

Задача 1. Найдите значение выражения

Задача 2.

Задача 3. Найдите 24cos 2α, если sinα = -0,2.

Решение: sin 2 α + cos 2 α =1;

cos 2 α=1– sin 2 α;

cos 2 α=1– (-0,2) 2 =0,96;

24cos2α=24(cos 2 α – sin 2 α)=24(0,96-0,04)=24*0,92=22,08.

Задания для самостоятельной работы:

Найдите значение выражения:

  1. Найдите (10sin 6α)/(3cos 3α), если sin 3α = 0,6.
  2. Найдите -2cos 2α, если sin α = 1.
  3. Найдите -16cos 2α, если sin α = -0,4 - 2cos 2α.
  4. Найдите 9cos 2α, если cos α = 1/3.

Занятие 5. Формулы суммы и разности тригонометрических функций. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. (1 ч).

Цель: повторить формулы.

Задача 1. Найдите значение выражения

Задания для самостоятельной работы:

Найдите значение выражения:

Занятие 6. Тригонометрические уравнения.

Цель: повторить формулы простейших тригонометрических уравнений, создание условий для формирования умений выбирать из полученной серии решений те решения, которые удовлетворяют некоторому дополнительному условию.

Задача 1. Найдите корень уравнения cos (π(x - 7)/3) = 1/2: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решение: используя формулу корней простейшего тригонометрического уравнения вида

cos х=а для аргумента π(x - 7)/3 получаем: π(x - 7)/3 = ±(π/3) + 2πn, где n ∈Z.

Умножим обе части равенства на 3/π: х-7 = ±1+6n, где n ∈Z. Рассмотрим совокупность корней

Наибольший отрицательный корень получаем при n=-2 х=-4.

Задания для самостоятельной работы:

  1. Решите уравнение cos (π(x + 5)/3) = 1/2. В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
  2. Решите уравнение tg (πx/4) = -1. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
  3. Решите уравнение sin (πx/3) = 0,5. В ответе напишите наименьший положительный корень.
  4. Решите уравнение sin (π(x - 3)/4) = - √2/2. В ответ напишите наименьший положительный корень.
  5. Решите уравнение sin (π(x - 3)/4) = √2/2. В ответ напишите наименьший положительный корень.
  6. Решите уравнение sin (π(8x + 9)/3) = √3/2. В ответ напишите наименьший положительный корень.
  7. Решите уравнение tg (π(x + 2)/3) = - √3. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
  8. Решите уравнение tg (π(x + 4)/6) = 1/ √3. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
  9. Решите уравнение tg (π(2x + 1)/6) = √3. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
  10. Решите уравнение cos (π(8x - 10)/3) = 1/2. В ответ запишите наибольший отрицательный корень.

Занятие 7. Решение задач на применение формул дифференцирования и интегрирования тригонометрических функций.

Цель: повторить формулы производной и первообразной тригонометрических функций, алгоритм нахождения точек экстремума и экстремумов функций, наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎