Тема 16. Планиметрическая задача
В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка D так, что BD : DC = 1 : 2. Медиана CE пересекает отрезок AD в точке F. Какую часть площади треугольника ABC составляет площадь треугольника AEF?
В условии задачи имеются соотношения на отрезки; чтобы их использовать, необходимо воспользоваться подобием. Чтобы его реализовать, проведём дополнительное построение: через точку D проведём прямую, параллельную СЕ. Эта прямая пересечёт отрезок AB в точке K. Пусть заметим, что , поэтому BK:KE = BD:DC = 1:2, то есть - медиана, поэтому Значит,
Расстояние между центрами окружностей радиусов 1 и 9 равно 17. Обе окружности лежат по одну сторону от общей касательной. Третья окружность касается обеих окружностей и их общей касательной. Найдите радиус третьей окружности.
Научимся считать длину общей внешней касательной для двух произвольных окружностей радиуса r и R, чьи центры находятся на расстоянии a. (см. рисунок)
Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 2 и 4. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.
а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.
б) Найдите площадь треугольника АСВ.
а) Введём обозначения, как показано на рисунке, пусть M, H, N — точки касания. Касательные, проведённые к окружности из одной точки равны: AM = AN, CM = CH, HB = BN. Поэтому:
б) Для определения площади треугольника используем формулу, связывающую её с полупериметром, стороной и радиусом вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других сторон треугольника:
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 5, BC = 8 и AC = 10.
а) Шестиугольник разбивается отрезками медиан на 6 треугольников; рассмотрим один из них, например, . Заметим, что (высота к стороне MB общая, а длина стороны в 2 раза меньше по условию). Аналогично для шести оставшихся треугольников. "Большие" треугольники в сумме составляют весь ABC, поэтому утверждение доказано.
б) Обозначим длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC через a, b, c.
Докажем, что квадрат медианы AA1 равен Для доказательства на продолжении отрезка за точку отложим отрезок . Получим параллелограмм ACPB со сторонами AC = PB = b и AB = CP = c и диагоналями BC = a и AP = 2AA1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: откуда Аналогично доказывается, что а
Теперь выразим стороны шестиугольника через отрезки медиан. Отрезок C1A2 — средняя линия треугольника ABM, значит,
Рассуждая аналогично, мы получим, что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника ABC:
Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна
Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.
а) Докажите, что эти хорды равны.
б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен
а) Пусть две хорды равны 3x и 3y. По теореме о произведении пересекающихся хорд 2x · x = 2y · y. Отсюда находим, что x = y, значит, эти хорды равны. Аналогично докажем, что третья хорда равна каждой из первых двух.
б) Равные хорды равноудалены от центра окружности, поэтому центр равностороннего треугольника с вершинами в точках попарного пересечения хорд совпадает с центром данной окружности. Пусть хорды BE и CF пересекают хорду AD в точках P и Q соответственно, хорды BE и FC пересекаются в точке T, а H — проекция центра O на хорду AD. Тогда H — общая середина отрезков AD и PQ, а OH — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника PQT со стороной PQ.
Через точку T проведём прямую, параллельную AD, через точку P — прямую, параллельную CF, а через точку Q — прямую, параллельную BE. Эти прямые и хорды AD, BE и CF разбивают шестиугольник ABCDEF на 13 одинаковых равносторонних треугольников.
Отсюда находим, что a = 3, значит, PQ = 2a = 6,