Определение. Арифметическим корнем п-й степени из числа а называют неотрицательное число, я-я степень которого равна а

При четных п функция f(x) = x n четна. Отсюда следует, что если а>0, то уравнение х п = а, кроме корня хх ==ija, имеет также корень х2=—уа. Если а—0, то корень один: * = 0; если а<0, то это уравнение корней не имеет, поскольку четная степень лю­бого числа неотрицательна.

Итак, при четном п существуют два корня п-й степени из любого положительного числа а; корень п-й степени из числа 0 равен нулю; корней четной степени из отрицательных чисел не существует.

О Пример 3. Уравнение л: 4 = 81 имеет два корня: это числа

3 и —3. Таким образом, существуют два корня четвертой сте­пени из 81. При этом — это неотрицательное число, т. е. V8l = 3, а —3=—V8T.

Пр и мер 4. Положительным корнем уравнения х 4 =3 яв­ляется число V3- Это число (так же, впрочем, как и число —\J3) иррационально. Его десятичные знаки можно вычислить после­довательно:

1<УЗ<2, так как 1 4 <3<2 4 ;

1,3<V5<1,4, так как 1 »3 4 < 3 < 1,4 4 и т. д.

(убедитесь, что \/3= 1,31607. ). ф

При нечетных значениях п функция f(x)==xf l возрастает на всей числовой прямой; ее область значений — множество всех действительных чисел. Применяя теорему о корне, находим, что уравнение х п — а имеет один корень при любом а и, в частности, при а<0. Этот корень для любого значения а (в том числе и а от­рицательного) обозначают %/а.

Итак, при нечетном п существует корень п-й степени из любого числа а и притом только один.

Для корней нечетной степени справедливо равенство

т. е. число —л/а есть корень п-й степени из —а. Но такой корень при нечетном п единственный. Следовательно, V— а

Равенство V—а = — л/а (при нечетном п) позволяет выразить корень нечетной степени из отрицательного числа через арифме­тический корень той же степени. Например, У—71 = — УТ\, V—27 = —У27 = —3.

Замечание 1. Для любого действительного х

п\ UI, если п четно;

" Ч х, если п нечетно.

(Докажите это свойство самостоятельно.)

Замечание 2. Удобно считать, что корень первой степени из числа а равен а. Как вы уже знаете, корень второй степени из числа называют квадратным корнем, а показатель 2 корня при записи опускают (например, корень квадратный из 7 обозна­чают просто л/7). Корень третьей степени называют кубическим корнем.

О Пример 5. Решим уравнение: а) х 5 = — И; б) х ь — 7.

а) По определению корня n-й степени число х — корень пятой степени из —11. Показатель корня — нечетное число 5, поэтому такой корень существует и притом только один: это V=ni. Итак, *=-VTT.

б) По определению корня п-й степени решением уравнения х ъ = 7 является число SJ7. Так как 8 — число четное, —yf также является решением данного уравнения. Итак, xi=y7t л;2=—^7. Ответ можно записать так: х= ± V7. •

1. Основные свойства корней. Напомним известные вам свой­ства арифметических корней п-й степени.

Для любого натурального п, целого k и любых неотрица­тельных чисел а и b выполнены равенства:

1°. J \[ab= 1 \la- 1 \[b.

4°. \[а = п \[а* (к > 0).

5°. Vo*=(Va)* ( если то а¥=0).

Докажем свойство 1°. По определению *\[аЬ — это такое неотрицательное число, n-я степень которого равна ab. Число tyja-yb неотрицательно. Поэтому достаточно проверить справед­ливость равенства ( ! \[a' ! \[b) n = ab, которое вытекает из свойств степени с натуральным показателем и определения корня п-й сте­пени: (Va-V6) rt HVa)4V&) rt =a6-

Аналогично доказываются следующие три свойства:

Докажем теперь свойство 5°. Заметим, что n-я степень числа i^jaf равна а к :

По определению арифметического корня (Va)*=V^ ( так как

Приведем примеры применения свойств 1° — 5° к решению за­дач на преобразование числовых выражений, содержащих корни.

О Пример 6. Преобразуем выражения: а) б) д/б-^г '»

в) VW; г) 2 Vl28; дУ Д/Т28 3 -

a) V8*V4=V^4=V32 = 2 (свойство 1°); б > ( св ° йс ™° 2 °);

B ) VV^ =I V7 (свойство 3°);

г) 2 -\/l28 = 2J \/2 7 —\/2 (свойство 4°);

д) применяя свойство 5°, находим У128 3 = (У128) 3 = 2 3 = 8. ф Докажем следующее свойство арифметического корня:

6°. Для любых чисел а и Ь, таких, что О^асЬ, выполняется

неравенство Уа<У&.

Проведем доказательство методом от противного. Допустим,

что °\[а^л]Ь. Тогда по свойству степеней с натуральным показате­лем (Уа)"т. е. а^Ь. Это противоречит условию a<Cb.

О Пр и м е р 7. Сравним числа д/2 и УЗ.

Представим У2 и УЗ в виде корней с одним и тем же показа­телем: У2 = 1 У¥= 1 У32, а УЗ = 1 У3 3 = 1 У27 (свойство 4°). Из нера­венства 32 >27 по свойству 6° следует, что ‘У32>* 1 У27, и, зна­чит, У2>Уз.

Пр и мер 8. Решим неравенство х 6 >»20.

Это неравенство равносильно неравенству х 6 — 20>0. Так как функция f(x) = x 6 — 20 непрерывна, можно воспользоваться мето­дом интервалов. Уравнение х 6 — 20 = 0 имеет два корня: У20 и —V20. Эти числа разбивают числовую прямую на три промежутка. Решение данного неравенства — объединение двух из них:

(-оо; -V20) и (V20; оо). ф

Проверьте справедливость равенств (381—382).

381. а) -\/Тб = 2; б) У^7=-1; в) >УТ024 = 2; г) У-243=-3.

382. а) ! УГ= 1; б) Уб4 = 2; в) У

383. а) У—27; б) УвТ; в) У-32; г) Уб4.

384. а) д/l; б) в) г) \J1L.

Решите уравнения (385—388).

385. а) х 3 -|-4 = 0; б) лс 6 = 5; в) лс 3 = 4; г) л: 4 = 10.

386. а) л; 10 —15 = 0; б) л: 7 +128 = 0; в) л: 6 —64 = 0; г) г’ = 3.

387. а) 16л; 4 — 1 =0; б) 0,01л: 3 + 10=0; в) 0,02л: 6 — 1,28 = 0;

4 4

388. a) У*= — 0,6; б) \[х=3\ в) л/х=5; г) л]х= — 1.

Найдите значение числового выражения (3,89—394).

389. а) (—УТТ) 4 ; б) (2 \f=2f\ в) (У7) 3 ; г) (-ф) 6 .

390. a) V16-625; б) V32-243; в) У8-343; г) 4/0,0001 • 16.

391. а) VI60-625; б) V 24 * 9 ; в) V48-27; г) У^Ь45.

392. a) V9-V9; б) в) ^27-^9; г)

^ а > У I-VWH./I -У^ ; У

V 5 / 24? 3 / 717* ч 4 /71 ГГ . V5

В ) V 1024 V 27 * "V 8*2 ^8о *

395. Найдите первые два десятичных знака (после запятой) числа:

a) V2; б) V5; В) т/7; г) V3.

Пользуясь таблицами или калькулятором, найдите прибли­женное значение корня с точностью до 0,01 (396—397).

396. a) V10.17; б) в) УГЗДГ; г) ЦП.

397. a) V*37; б) VlO; в) г) ^Дз.

Сравните числа (398—401).

398. a) Щ2 и 0; б) 'Щ* и *д; в) УП8и1;г) УбЯлЦОд.

399. a) -1-V2 и б) и *V043; в) У2 и V3;

400. а) л/0^3 и V^05; б) V 4 и У8; в) V7 и V40; г) л/5 и V500-

401. а) У—0,4 и б) и в) \[^2 и ^4;

402. Вынесите множитель за знак корня (а>0, 6> 0): a) V64a 8 6“; б) V—128а 7 ; в) Уба 12 Ь 6 \ г) V^ 4 ^-

403. Внесите множитель под знак корня (а>0, Ь>0):

а) —Ьт/З; б) ab

\l^—\ в) а\р\ г) —ab У—4.

При каких значениях а верно равенство (404—405) ?

404. a) -yfa 2 =—a; б) Уа? = а\ в) Уа в =\а\\ г) \[а А = а.

405. а) У<?= — а; б) Уа^ =

а \ в) \[а 4 —\а\; г) УсГ^а.

Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня (406—407).

* ' л/7—л/5 ’ ' а+л/2 ’ л/5 + л^’ л/б-1 '

407. а) ; б) ; в) -i—; г) .

Приведите числовое выражение к виду a V6, где а — ра­циональное число, а b — натуральное (408—409).

\f4 ’ У27^2Ь ’ В Vl2 V®

409. a) 'V25 5 ; б) \Jв) г) л/^-

410. Решите уравнение с помощью подстановки t=\[x или t=^Jx: a) Vx —5Vjc + 6=0; б) ->[х-\-л[х = 2\ в) л/х — 3V* + 2 = 0;

Решите неравенства (411—412).

411. а) * 4 <3; б) *“>7; в) * 10 >2; г) х 3 <5.

412. а) У*<—7; б) в) V*> 2 ; г) 3.

Упростите выражения (413—414).

413. а) Уа 5 » где а<0; б) \[а?у где а>0;

в) Va 5 ; г) -д/а 5 , где а^0.

414. a) Уо 3 —Уа 5 , где а<0; б) V^ T + 2 V^ 7 » г Д е а^0;

в) V^-V2\ где я^0; г) Уа^+ЗУя*, г Д е

415. Найдите значение выражения:

а) -Ую+л/ТЗ-У 10 -'\/73; б) У^+.У*^ +л/Г7;

в) V9-V65-V 9 +V65; г) V 3 —>/5-V 3 +V5.

416. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит радикала:

1 2 v 2 ч За

а ) б ) —гтг; в ) т^гг;dr» г )

V2 — V3 ’ a-Vfe ’ V& + V7 ’ Va 2 -V^+W ’

32. Иррациональные уравнения

Уравнения, в которых под знаком корня содержится перемен­ная, называют иррациональными. Таково, например, уравнение

0 Пример 1. Решим уравнение д/х 2 — 5 = 2.

Возведем обе части этого уравнения в квадрат и получим х 2 — 5=4, откуда следует, что х 2 =9, т. е. х=3 или х—

Проверим, что полученные числа являются решениями урав­нения. Действительно, при подстановке их в данное уравнение по­лучаются верные равенства

д/3^5 = 2 и д/( —3)^—5 = 2.

Следовательно, х = 3 и х =—3 — решения данного уравнения.

Пример 2. Решим уравнение д/х=х — 2.

Возведя в квадрат обе части уравнения, получим х=х 2 — 4л:+ 4. После преобразований приходим к квадратному уравнению х 2 —

— 5*+ 4 = 0, корни которого х= 1 и х = 4. Проверим, являются ли найденные числа решениями данного уравнения. При подстановке в него числа 4 получаем верное равенство д/4 = 4 — 2, т. е. 4 — ре­шение данного уравнения. При подстановке же числа 1 получаем в правой части —1, а в левой части число 1. Следовательно,

1 не является решением уравнения; говорят, что это посторонний корень, полученный в результате принятого способа решения. Ответ: х — 4. ф

Мы видим, что при решении иррациональных уравнений по­лученные решения требуют проверки, потому, например, что не­верное равенство при возпедении в квадрат может дать верное равенство. В самом деле, неверное равенство 1 = — 1 при возве­дении в квадрат дает верное равенство 1 2 = (—I) 2 .

О Пример 3. Решим уравнение д/х 2 — 2=д/х.

Возведем обе части этого уравнения в квадрат: х 2 — 2 = х, от­куда получаем уравнение х 2 —х —2 = 0, корни которого х=—-1 и х = 2. Сразу ясно, что число —1 не является корнем данного уравнения, так как обе части его не определены при х— — 1. При подстановке в уравнение числа 2 получаем верное равенство -yj2 2 — 2= д/2. Следовательно, решением данного уравнения явля­ется только число 2.

Пример 4. Решим уравнение д/х— 6 = д/4 — х.

Возводя в квадрат обе части этого уравнения, получаем х —6 = 4— х, 2х =10, х = 5. Подстановкой убеждаемся, что чис­ло 5 не является корнем данного уравнения. Поэтому уравнение не имеет решений, ф

Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные переходы.

О Пример 5. Решим уравнение д/х— 2 = х— 8.

По определению д/х —2 — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Другими сло­вами, уравнение д/х — 2 = х — 8 равносильно системе

Решая первое уравнение системы, равносильное уравнению х 2 —

— 17л:+ 66 = 0, получим корни 11 и 6, но условие х — 8^0 выпол­няется только для jc=11. Поэтому данное уравнение имеет один

Пример 6. Решим уравнение х— 1 —Цх 1 —х— 1.

В отличие от рассмотренных ранее примеров данное ирра­циональное уравнение содержит не квадратный корень, а корень третьей степени. Поэтому для того, чтобы «избавиться от ради­кала», надо возвести обе части уравнения не в квадрат, а в куб: (л:—1) 3 = л: 2 — х—1. После преобразований получаем:

л: 3 — Зл: 2 -[-Зл: — 1 =х 2 —х — 1, л: 3 — 4л: 2 + 4х = 0, х (х 2 — 4л:4-4) = 0, л: (л: — 2) 2 = 0.

Пример 7. Решим систему уравнений

Положив и = \[х и v=%Jy, приходим к системе

1 и 2 — uv-\-v 2 = 7.

Подставляя во второе уравнение значение v, найденное из первого (v = 4 — и), приходим к уравнению

и 2 — и (4 — м)+(4 — и) 2 = 7, т. е. и 2 — 4ы + 3=0.

Полученное квадратное уравнение имеет два корня: wi = l и «2 = 3. Соответствующие значения v таковы: v\ = 3 и и2 = 1. Пе­реходя к переменным хну, получаем: $Jx = ui, т. е. х\ = и]=\, y\ = v 3 \ = 27, x2 = ul = 27, y2 = vl = \. От в е т:.(1; 27), (27; 1).ф

Решите уравнения (417—420).

417. а) Ул: 4 +19 = 10; б) Vл: 2 — 28 = 2;

в) V61 — л: 2 = 5; г) У*-9=-3.

418. a) ^Jx-\-1 =х — 5; б) *+л/2л: + 3 = 6;

в) У2л— 1 =х — 2; г) 3+У3л-И=л.

419. а) -\j2x-j-1 =Ул 2 —2л + 4; б) -\Jx--yJx 2 —х — 3;

в) Ул-|-2 = У2л— 3; г) д/9 — х 1 =л]х-\-9

420. а) л=Ул 3 +* 2 —6лг+8; б)х—2=\/х 2 —8;

в) х=Ух 3 — л 2 — 8л +20; г) л +1 =Ул 3 + 2л 2 +*-

421. Решите систему уравнений:

в) | 2 V^+V^=7, г) | д/х+3 д/^=5д/5,

I 4 У£- 3 V^=6; 1 5 д£- 2 д^==д/5.

33. Степень с рациональным показателем

Вам уже знакомо понятие степени числа с целым показателем. Выражениеа п определено для всехаип,кроме случая а=0 прип^.0.Напомним свойства таких степеней.

Для любых чисел а, b и любых целых чисел тип справедливы равенства:

a m -a n = a m+n ; a m :a n = a m

n (,афО);

(abr=a?-b\(jr)'[ЬФ0); a>=a\ a° = l (аф0)ш Отметим также следующее свойство:

Если т>я, то а т >а" при 1 и а т <а п при 0<а<1. В этом пункте мы обобщим понятие степени числа, придав

смысл выражениям типа 2 0,3 , 8 [20] , 4 2 и т. д. Естественно при этом дать определение так, чтобы степени с рациональными показателями обладали теми же свойствами (или хотя бы их частью), что и степени с целым показателем. Тогда, в частности,

п-я степень числа а п должна быть равна а т . Действительно, если свойство

(а п ) п = а п ' П = а т .

Последнее равенство означает (по определению корня п-й

степени), что число а п должно быть корнем /2-й степени из чис­ла а т .

Определение.Степенью числа а> 0с рациональным по­казателем, г==

> г Д е m — целое число, ал — натуральное (я > 1), называется число

Итак, по определению

Степень числа 0 определена только для положительных по­казателей; по определению 0 Г = 0 для любого г>0.

О Пример 1.По определению степени с рациональным показа­телем

Воспользовавшись определением степени с рациональным пока­зателем и свойствами корней, имеем 8 3 =^8 = 2, 81 4 =\/вР==

=(УвТ) 3 = З 3 = 27, 128 7 =VT28^=(Vl28) _2 = 2“ 2 =-j- Ф

Замечание 1. Из определения степени с рациональным показателем сразу следует, что для любого положительного а и лю­бого рационального г число а г положительно.

Замечание 2. Любое рациональное число допускает раз­личные записи его в виде дроби, поскольку

=^ для любого на­турального k. Значение а г также не зависит от формы записи рационального числа г. В самом деле, из свойств корней следует,

что a nk = nl Sla M = a \fa Fi ==а п .

Замечание 3. При а<0 рациональная степень числа а не определяется, и это не случайно. Если бы мы сочли верной

формулу (1) и для а< О, то, например, значение (— 8) 3 равня-

___________________________________________________________________________________________________________________________ I 2

лось бы у —8, т. е. —2. Но, с другой стороны, —, и поэтому

должно выполняться равенство —2=( — 8) 3 =( — 8) 6 =У( — 8) 2 — =fy8 5 =2.

Покажем теперь, что при сформулированном выше определе­нии степени с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (разница за­ключается в том, что приводимые далее свойства верны только для положительных оснований).

Для любых рациональных чисел г и s и любых положитель­ных а и b справедливы равенства:

1°. a r -a s =a r+s .

3°. (a r ) s =a rs .

4°. (ab) r = a r -b r .

Для доказательства этих свойств надо воспользоваться опре­делением степени с рациональным показателем и доказанными в п. 32 свойствами корней. Докажем, например, свойства 1°, 3°,

"> гд > е п и Я — натуральные числа, a m и

d-a s = %[d n • n< \Ja mq+np =a nq =a r+s \

Свойства 2° и 5° доказываются аналогично (проведите соот­ветствующие рассуждения самостоятельно). , 3

О Пример 3. Найдем значение выражения 4 :5 4 .

-L _ 1 J. А 3 . 1 1 I 3

V40*2 4 :5 4 4 -5 4 = 2 4 + 4 -5 Т + Т =2'-5 1 = 10.

Пример 4. Преобразуем выражения:

1 I a 0 ’ 8 + a 0,4 fe 0,7 + fe 1 ' 4 "

a 4 +fc 4

2 _(fl T ) 2 -(fc T ) 2 (a 7 -ft 7 )(a T +ft 4 ) Т jlТ *11 11 11 и и

а 4 +6 4 а 4 +6 4 а 4 +/? 4

„1.2 1,2,1 ,0.4,3 /»,0,7чЗ

б) —Т ь .______ ^ (а г—(ft ) г^д 0 - 4 /)0- 7 fi

а 0 ’ 8 + a° A b 0J +b м (а 0 - 4 ) 2 + a 0 ' 4 fc°- 7 +(ft 0 - 7 ) 2

Отметим следующие два свойства степеней с рациональными показателями:

6°. Пусть г — рациональное число и 0<а<6. Тогда

а г <Ъ Г при г>0, a r

>b r при г С 0.

7°. Для любых рациональных чисел г и s из неравенства r>s следует, что

a r > a s при а > 1, а т < а 5 при 0 < а < 1.

Докажем свойство 6°. Если г>0, то г можно записать в виде г

' г Д е m И п — натуральные числа. Из неравенства 0<а<Ь

и свойств степени с целым показателем следует, что a m <b m . По свойству корней (свойство 6°, п. 32) из этого неравенства полу­чаем V^<V^\ т - е - ° г <ь г .

В случае г< 0 проводится аналогичное рассуждение.

Для доказательства свойства 7° приведем сначала рациональ­ные числа г и s к общему знаменателю: г=— и s=-^

натуральное число, a m и р — целые. Из неравенства r>s сле- 212

дует, что m>p. Если а> 1, то а п = t \[a> 1 и по свойству степени

с цел ым показателем (а п ) т > (а п ) р .

Остается заметить, что (а п ) т = а п =а г и (a n ) p = a n =a s .

Случай 0<а<1 разбирается аналогично.

О Пример 5. Сравним числа ^8 и 2 3

Запишем ^8 в виде степени с рациональным показателем: А — А

д/8 = 2 5 . По свойству 7° получаем 2 3 >2 5 , так как

Пример 6. Сравним числа 2 300 и З 200 .

Запишем эти числа в виде степеней с одинаковым показате­лем:

2 30 ° _^2 3 ) 100 — 8 100 ' 3 200 = (3 2 ) |00 = 9 100 Так как 8<9, по свойству 6° получаем:

8 100 <9 100 , т. е. 2 300 < 3 200 . в

428. Представьте в виде корня из числа выражение:

а) З 1 - 2 ; б) 5 3 ; в) 4 1 - 25 ; г) б‘

429. Представьте выражение в виде степени с рациональным по­казателем:

Найдите значение числового выражения (430—431).

431. а) 8 2 :(8 6 *9 2 ); б) VT00-(^) 3 -(-g-) ;

Разложите на множители (432—433).

432. а) (ах) 3 +(ш/) 3 ; б) а-а 2 ; в) З + З 2 ; г) (Зл:) 2 -(5л:)'

433. а) х 3 у 3 -х 3 -у 3 +1; б) с 2 +с 4 ;

в) 4 — 4 3 ; г) а + 6 2 +а 2 ->-а 2 Ь 2 .

Упростите выражения (434—435).

а 2 —Ь 2 z 3 +2z 3 +4

4 - Г\ _________________________________________________________ Q + fc