2.5.3. Ряд Лорана и его область сходимости

Среди множества рядов, близких к степенным по своему строению и свойствам, являются ряды, расположенные по целым отрицательным степеням z – z0:

Сделаем замену в (2.103), получим:

Как известно радиус сходимости полученного ряда есть число R (2.90): если R = 0, то ряд (2.104) сходится в точке t = 0; если 0 < R < ¥ , то ряд сходится абсолютно в круге и расходится вне его; если R = ¥, то ряд абсолютно сходится в любой конечной точке плоскости. В виду замены следует, что если , то ряд (2.103) расходится в каждой конечной точке; если , то он абсолютно сходится при и расходится при ; если , то ряд абсолютно сходится во всех точках плоскости, за исключением z = z0. Если считать, что ; тогда существует область сходимости ряда (2.103): , которую обозначим через G. Тогда как ряд (2.104) сходится равномерно на всяком замкнутом множестве в круге , и преобразование переводит всякое замкнутое множество точек указанного круга в некоторое замкнутое множество точек области G. В этой области ряд (2.103) определяет функцию:

аналитическую во всех точках области G. В бесконечно удаленной точке g(z) принимает значение . Будем по определению называть функцию g(z) аналитической в бесконечно удаленной точке.

Следовательно, аналитичность функции в z=¥ характеризуется наличием в разложении ряда вида (2.105).

Определение. Ряд вида

где z0 – фиксированная точка комплексной плоскости, an – заданные комплексные числа, называется рядом Лорана . Этот ряд сходится в точке z, если в этой точке сходятся ряды:

(правильная часть ряда Лорана) (2.107)

(главная часть ряда Лорана), (2.108)

а сумма ряда (V.3.4) по определению равна сумме рядов (2.107) и (2.108), т.е. .

Теорема. Функцию, аналитическую в кольце , можно разложить в ряд по положительным и отрицательным степеням разности z – z0, сходящийся во всех точках кольца (2.106) или в развернутом виде:

Для доказательства возьмем произвольную точку z внутри кольца и проведем две концентрические окружности К1 и К2 так, чтобы z лежала между ними (рис. 2.29). Сделаем разрез mn. Получим контур L: К1 + mn + К2 + nm, который ограничивает односвязную область D. Функция аналитическая в области (область D¢ обозначена штриховой линией). По интегральной формуле Коши:

По свойству аддитивности:

Так как контур mn проходится в двух противоположных направлениях и подынтегральные выражения в интегралах совпадают, то интегралы, берущиеся по этим контурам, взаимно уничтожаются. Обход в третьем интеграле заменим на противоположный, из (2.110) получим:

В первом интеграле переменная zÎК1, а z находится внутри контура, поэтому , а дробь разлагаем в ряд, представляющий сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем :

Законность интегрирования ряда гарантируется построением мажорантного числового сходящегося ряда и признаком Вейерштрасса и сравнения. Поэтому

Аналогично, во втором интеграле переменная zÎК2, а точка z лежит вне К2, поэтому , а дробь разлагается в ряд:

Интегрируя почленно ряд, получим:

Равенства (2.111), (2.115), (2.118) дают разложение (2.109).

Формулы для коэффициентов ряда Лорана объединяем в одну:

где К – произвольная кривая кольца .

Методические замечания

а) Имеет место свойство единственности разложения в ряд Лорана. Это значит, что каким бы способом ни разлагали, ряд Лорана будет одним и тем же.

б) Для нахождения коэффициентов ряда Лорана редко пользуются формулой (2.119).

Функцию , аналитическую в кольце , представляют в виде суммы или произведения двух функций (если это возможно): или , из которых одна, например, аналитическая внутри большого круга , другая – – вне меньшего круга . Первую разлагают по

положительным, а вторую по отрицательным степеням разности . Результаты остается сложить или перемножить.

Пример 1

Разложить по степеням z в ряд Лорана в кольце .

Решение. Функция – аналитическая в кольце . Имеет две особые точки: z = 1 и z = 2. Разобьем функцию на сумму двух, из которых одна – аналитическая в круге . Для этого разложим данную дробь на сумму простейших, найдем:

Дробь разложим в круге по положительным степеням z:

Дробь разложим в круге :

Пример 2

Разложить по положительным и отрицательным степеням z в кольце .

Решение. Для конечного z ¹ 0 имеем:

Перемножим выражения в правой части уравнения, найдем, что коэффициенты при и при одинаковы:

Пример 3

Разложить ряд Лорана функцию по степеням z в окрестности:

а) z=0; б) .

Решение

а) Выполним тождественные преобразование, которое приводит к использованию суммы членов бесконечно убывающей прогрессии:

Разложение содержит только правильную часть. Из следует, что область сходимости ряда есть круг .

б) Выполним тождественное преобразование с той же целью как в предыдущем примере:

Видно, что в окрестности выполняется неравенство . Следовательно, функция f(z) представима в виде ряда

Разложение не содержит правильной части. Ряд сходится в области .

Разложить в ряд Лорана функцию по степеням z – 2.

Решение. Сделаем замену z – 2 = t. Тогда

Возвращаясь к старой переменной z, получим:

Главная часть содержит два члена; правильная часть – три. Имеем многочлен. Следовательно, разложение верно для всех z, кроме z = 2.

Пример 5

Функцию разложить в ряд Лорана в окрестности точки z = 0.

Решение. Используем известное разложение

Тогда ряд Лорана для данной функции в окрестности точки z = 0 будет:

Главная часть есть

а правильная часть равна

Пример 6

Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности особой точки.

Решение. Особая точка функции есть z=0. В окрестности этой точки представляется рядом:

Главная часть ряда содержит бесконечное число слагаемых, а правильная два.

Пример 7

Разложить функцию в ряд Лорана.

Решение. Из курса элементарной алгебры известно правило деления расположенных многочленов. Если многочлены нацело не делятся, то алгоритм можно применять бесконечно, и в результате получится ряд. Деля многочлены «столбиком» получим:

Это есть ряд Лорана, который сходится в кольце 0<|z|<1, так как особые точки : z=0, z=i, z=-i, и функция аналитическая в указанном кольце.

Пример 8

Разложить в ряд Лорана.

Решение. Аналогично предыдущему примеру, после деления многочленов, получим:

Ряд сходится в кольце , так как особые точки функции находятся в точках , модуль каждого из этих чисел равен единице.

Срочно? Закажи у профессионала, через форму заявки 8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00