11 класс. Алгебра. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности.

Пред­по­ло­жим, что ве­ро­ят­ность по­лу­че­ния вами пя­тер­ки за кон­троль­ную равна 0,5, а чет­вер­ки – 0,3. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что за кон­троль­ную вы по­лу­чи­те 4 или 5?

Пред­по­ло­жим, есть неко­то­рый опыт, у ко­то­ро­го есть ис­хо­дов. Из них на­ступ­ле­нию со­бы­тия бла­го­при­ят­ны , а со­бы­тию – . Нетруд­но по фор­му­ле найти ве­ро­ят­но­сти на­ступ­ле­ния каж­до­го из со­бы­тий – это со­от­вет­ствен­но и . Но ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что на­сту­пит либо пер­вое со­бы­тие, либо вто­рое? Иначе го­во­ря, мы ищем ве­ро­ят­ность объ­еди­не­ния этих со­бы­тий. Для этого надо вы­яс­нить, сколь­ко у нас бла­го­при­ят­ных ис­хо­дов. ? Не со­всем. Ведь может слу­чить­ся так, что эти со­бы­тия вы­пол­нят­ся од­но­вре­мен­но.

Тогда пред­по­ло­жим, что со­бы­тия непе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся, то есть не могут вы­пол­нять­ся од­но­вре­мен­но. Вот тогда по­лу­ча­ем, что бла­го­при­ят­ных ис­хо­дов для объ­еди­не­ния – . Зна­чит, ве­ро­ят­ность объ­еди­не­ния будет равна:

Об­ра­тим вни­ма­ние: здесь речь идет об ОДНОМ экс­пе­ри­мен­те, в ре­зуль­та­те ко­то­ро­го может на­сту­пить либо пер­вое со­бы­тие, либо вто­рое, но не оба сразу.

В част­но­сти, в при­ме­ре с кон­троль­ной мы по­ни­ма­ем, что уче­ник не может од­но­вре­мен­но по­лу­чить за кон­троль­ную и 5, и 4 (речь идет об одной оцен­ке за одну и ту же кон­троль­ную), зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что он по­лу­чит 4 или 5, равна сумме ве­ро­ят­но­стей, то есть, все-та­ки, 0,8.

А что де­лать, если со­бы­тия пе­ре­се­ка­ют­ся, то есть су­ще­ству­ют ис­хо­ды, бла­го­при­ят­ные для них обоих? Такая си­ту­а­ция будет рас­смот­ре­на в конце урока.

Еще один при­мер.

Задача 2

В дан­ном слу­чае за­да­чу можно ре­шить двумя спо­со­ба­ми.

Можно при­ме­нить нашу фор­му­лу, ведь если он не про­иг­ра­ет, то он либо сыг­ра­ет вни­чью, либо вы­иг­ра­ет. Зна­чит, ве­ро­ят­ность этого равна 0,7.

А можно ре­шить иначе: раз ве­ро­ят­ность того, что он про­иг­ра­ет, нам дана – 0,3, то ве­ро­ят­ность того, что он не про­иг­ра­ет, равна .

Задача 3

Пред­по­ло­жим, что мы про­ве­ли два раз­ных опыта. На­при­мер, уче­ник на­пи­сал два эк­за­ме­на, и каж­дый из них он сдал на 5 с ве­ро­ят­но­стью 0,8. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что он сдал на 5 оба эк­за­ме­на?

По ана­ло­гии неко­то­рые из вас го­то­вы к 0,8 при­ба­вить 0,8 – это будет 1,6. Мно­го­ва­то для ве­ро­ят­но­сти. Впро­чем, если при­смот­реть­ся, здесь со­всем дру­гая си­ту­а­ция!

Если рань­ше мы имели дело с двумя непе­ре­се­ка­ю­щи­ми­ся со­бы­ти­я­ми для од­но­го экс­пе­ри­мен­та, то сей­час речь идет об ис­хо­дах двух экс­пе­ри­мен­тов. А кроме того, рань­ше мы го­во­ри­ли об объ­еди­не­нии (то или то), а сей­час – о пе­ре­се­че­нии (и то, и то).

Пусть есть пер­вый экс­пе­ри­мент, у него есть ис­хо­дов, из ко­то­рых бла­го­при­ят­ству­ют пер­во­му со­бы­тию, а кроме этого, есть вто­рой экс­пе­ри­мент, у него есть ис­хо­дов, из ко­то­рых бла­го­при­ят­ству­ют вто­ро­му со­бы­тию. Тогда всего ис­хо­дов у двух экс­пе­ри­мен­тов – (по пра­ви­лу про­из­ве­де­ния из ком­би­на­то­ри­ки). Ана­ло­гич­но ва­ри­ан­тов, когда вы­пол­не­ны оба со­бы­тия, будет . Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что оба со­бы­тия про­изой­дут, равна

Но это же равно про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей на­ступ­ле­ния каж­до­го из со­бы­тий: и .

Мы пред­по­ло­жи­ли, что знаем, что бла­го­при­ят­ных ис­хо­дов в пер­вом и вто­ром слу­ча­ях – и со­от­вет­ствен­но. Но это два раз­ных экс­пе­ри­мен­та. А что если впо­след­ствии ре­зуль­тат пер­во­го экс­пе­ри­мен­та по­вли­я­ет на вто­рой? Ска­жем, уче­ник первую кон­троль­ную на­пи­сал на 2, после чего рас­стро­ил­ся и вто­рую на­пи­сал хуже, чем мог бы. Или, на­о­бо­рот, лучше – если со­брал­ся. То есть со­бы­тия стали за­ви­си­мы. А для наших вы­кла­док важно иметь дело имен­но с неза­ви­си­мы­ми со­бы­ти­я­ми, от­ме­тим это.

Раз­бе­рем при­ве­ден­ный выше при­мер. Если ве­ро­ят­ность сдать каж­дый эк­за­мен равна 0,8 и если до­пу­стить, что эк­за­ме­ны сда­ют­ся неза­ви­си­мо, имеем, что ве­ро­ят­ность сдачи обоих равна 0,64. По­вто­рим­ся: это верно толь­ко в том слу­чае, когда мы счи­та­ем, что оцен­ки за эк­за­ме­ны по­лу­ча­ют­ся неза­ви­си­мо друг от друга.

Задача 4

Пред­по­ло­жим, что мы два­жды под­бро­си­ли мо­нет­ку. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что оба раза вы­па­дет орел?

Пред­по­ла­га­ет­ся, что мо­нет­ка нор­маль­ная, то есть ве­ро­ят­ность орла и решки – по 0,5. Но тогда ве­ро­ят­ность двух орлов будет 0,25, так как со­бы­тия – неза­ви­си­мые.

Это ра­бо­та­ет и для несколь­ких опы­тов, не толь­ко для двух. На­при­мер, ве­ро­ят­ность трех орлов под­ряд будет 0,125, а ве­ро­ят­ность ста орлов – !

Если ве­ро­ят­ность по­лу­че­ния трой­ки – 0,2, чет­вер­ки – 0,2, пя­тер­ки – 0,1, то ве­ро­ят­ность по­лу­чить хотя бы трой­ку будет равна:

Заключение

Вы еще не по­ня­ли, как же от­ли­чить, когда ве­ро­ят­но­сти скла­ды­вать, а когда пе­ре­мно­жать? Очень про­сто! Если речь идет о двух ито­гах од­но­го опыта – скла­ды­ва­ем. А если о двух раз­ных опы­тах – пе­ре­мно­жа­ем!

Пред­по­ло­жим, что есть со­бы­тия и , ко­то­рые могут про­изой­ти в ре­зуль­та­те од­но­го опыта, при этом их пе­ре­се­че­ние не пусто. На­при­мер, если мы под­бра­сы­ва­ем кубик, то бла­го­при­ят­ных ис­хо­дов для со­бы­тия «число четно» – 3, для со­бы­тия «число де­лит­ся на 3» – 2, но для со­бы­тия «число четно либо де­лит­ся на 3» – не 5, так как есть исход 6, для ко­то­ро­го вы­пол­ня­ют­ся оба со­бы­тия. Тогда мы знаем, что:

Это можно про­ил­лю­стри­ро­вать диа­грам­мой, так на­зы­ва­е­мой диа­грам­мой Эй­ле­ра-Вен­на (см. Рис. 1).

Если объ­еди­нить те ис­хо­ды, ко­то­рые бла­го­при­ят­ству­ют и те, ко­то­рые бла­го­при­ят­ству­ют , мы два­жды по­счи­та­ем те ис­хо­ды, ко­то­рые бла­го­при­ят­ству­ют и . Зна­чит, для под­сче­та бла­го­при­ят­ных ис­хо­дов к на­ступ­ле­нию или нужно сло­жить бла­го­при­ят­ные ис­хо­ды для и для , после чего вы­честь бла­го­при­ят­ные ис­хо­ды для пе­ре­се­че­ния и .

То же самое и с ве­ро­ят­но­стя­ми, ведь к ве­ро­ят­но­стям мы пе­ре­хо­дим обыч­ным де­ле­ни­ем на общее ко­ли­че­ство ис­хо­дов.

На­при­мер, по­счи­та­ем ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ное трех­знач­ное число де­лит­ся на 3 либо на 5. Всего чисел – 900. Чисел, де­ля­щих­ся на 3, – 300 ( ). Чисел, де­ля­щих­ся на 5, – 180 ( ). А чисел, де­ля­щих­ся на 3 и на 5, то есть чисел, де­ля­щих­ся на 15, – 60.