Подробное решение задачи C4 из ЕГЭ по математике

Подробное решение задачи C4 из ЕГЭ по математике

Сегодня мы с вами разберем всего-навсего одну задачку (задание C4 из второго варианта диагностической работы по математике №3 от 1 марта 2011 года), но сделаем это очень подробно, так чтобы в решении при желании мог разобраться даже тот читатель, чье изучение геометрии завершилось в 7-ом классе после прочтения обложки к учебнику Атанасяна. В тексте статьи будет множество отступлений, освящающих затрагиваемые в решении теоретические факты из геометрии, будет проделан полный разбор всех возможных геометрических конфигураций и вариантов решения задачи. Статья получится большая и сложная, так что если хотите добраться до конца, наберитесь терпения, оно вам понадобится. Итак, приступим.

Задача. Площадь трапеции ABCD равна 810. Диагонали пересекаются в точке O. Отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями в точках M и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.

Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны (эти стороны называются основаниями трапеции), а две другие стороны не параллельны (эти стороны называются боковыми сторонами трапеции).

Трапеция общего вида

Решение.

Формулы для вычисления площади трапеции

    Если a и b — основания трапеции, а h — высота трапеции, то ее площадь можно вычислить как произведение полусуммы оснований на высоту:

Пусть основания трапеции равны a и 2a, высота трапеции равна h. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то есть:

Рассмотрим два возможных случая:

I. Точка P лежит на большем основании трапеции

Первая возможная геометрическая конфигурация

Две геометрические фигуры называются равными , если их можно совместить наложением.

Признаки равенства треугольников

  • Первый признак (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • Второй признак (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • Третий признак (по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Треугольники AMP и BMC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (AP = BC по условию, ∠PAM = ∠BCM, так как являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей AC, ∠APM = ∠CBM, в силу того, что являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей BP). Из этого следует, что BM = MP. Аналогично доказывается, что CN = NP, а это означает, что MN — средняя линия треугольника BPC, поэтому:

c — секущая к прямым a и b

На рисунке прямая c является секущей по отношению к прямым a и b, поскольку она пересекает их в двух точках.

  • Углы 3 и 5, 4 и 6 — накрест лежащие углы.
  • Углы 4 и 5, 3 и 6 — односторонние углы.
  • Углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 — соответственные углы.

Признаки и свойства параллельности двух прямых

  • Про накрест лежащие углы.Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Верно и обратное.
  • Про соответственные углы. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Верно и обратное.
  • Про односторонние углы. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 0 , то прямые параллельны. Верно и обратное.

Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам (∠OAD = ∠OCB, так как являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей AC, ∠OBC = ∠ODA, в силу того, что являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей BD), коэффициент подобия:

Это означает, что таким же образом относятся и высоты этих треугольников h1 и h2:

Треугольники ABC и A1B1C1 называются подобными , если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого:

Число k, равное отношению сходственных сторон треугольника, называется коэффициентом подобия .

Признаки подобия треугольников

  • Первый признак подобия (по двум углам).Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
  • Второй признак подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
  • Третий признак подобия (по трем пропорциональным сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Тогда площадь треугольника BOC равна:

Прямая, содержащая в себе отрезок MN, параллельна BC, поскольку MN — средняя линия треугольника BPC. Треугольники OMN и BOC подобны по двум углам (∠CBO = ∠ONM, так как являются накрест лежащими при параллельных BC, MN и секущей BN, ∠BCO = ∠OMN, в силу того, что являются накрест лежащими при параллельных BC, MN и секущей CM), коэффициент подобия равен:

Значит площади треугольников OMN и BOC относятся как квадрат их коэффициента подобия, то есть:

II. Пусть теперь точка P лежит на меньшем основании

Вторая возможная геометрическая конфигурация

Треугольники AMP и MCB подобны по двум углам (∠MAP = ∠MCB, так как являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей AC, ∠AMP = ∠BMC, так как являются вертикальными углами), коэффициент подобия:

Вертикальными углами называют пару углов с общей вершиной, образуемых при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

Это значит, что имеет место равенство:

Аналогично доказывается, что:

Треугольники PMN и PBC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (соотношения (1) и (2), ∠BPC — общий), коэффициент подобия треугольников:

Это означает, что:

Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам (∠OAD = ∠OCB, так как являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей AC, ∠OBC = ∠ODA, поскольку являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей BD), коэффициент подобия:

Это значит, что таким же образом относятся и их высоты (h1 — высота треугольника AOD, h2 — высота треугольника BOC):

Если отметить на плоскости три точки, не лежащие на одной прямой, и соединить эти точки отрезками, то полученная геометрическая фигура будет называться треугольником.

Треугольник, высота, описанная вокруг него окружность, вписанная в него окружность

Формулы для вычисления площади треугольника

Введем обозначения:

  • a, b, c — стороны треугольника.
  • γ — угол, образованный сторонами a и b треугольника.
  • ha — высота треугольника, опушенная к стороне a.
  • p — полупериметр, (полусумма всех сторон треугольника).
  • R — радиус окружности, описанной около треугольника (окружности, проходящей через все вершины треугольника).
  • r — радиус окружности, вписанной в треугольник (окружности, которая находится внутри треугольника и касается всех его сторон).

Площадь треугольника выражается следующими формулами:

    Половина произведения высоты на строну, к которой эта сторона проведена:

Тогда площадь треугольника BOC равна:

У подобных треугольников соответствующие углы равны, а значит, рассматривая опять подобные треугольники PMN и PBC, находим, что ∠MNP = ∠BCP. Но эти углы являются соответствующими при прямых MN, BC и секущей PC. Их равенство означает, что прямая, содержащая в себе отрезок MN, параллельна прямой, содержащей в себе отрезок BC.

Треугольники MON и OBC подобны по двум углам (∠MNO = ∠OBC, так как это накрест лежащие углы при параллельных прямых BC, MN и секущей BN, ∠MON = ∠BOC как вертикальные), коэффициент подобия:

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому:

Ответ: 22,5 или 14,4.

Если вы добрались до этого места, не запутавшись в веренице гиперссылок и авторских отступлений, и что-нибудь для себя прояснилось или стало понятнее, могу вас поздравить, а вместе с вами и себя, ведь в этом и состояла моя цель. Учите математику, решайте задачи, помните, что это единственный способ подготовиться и успешно сдать предстоящие экзамены. Будьте настойчивы, требовательны к себе, и у вас все получится. Самым верным помощником в этом нелегком деле для вас непременно станет опытный профессиональный репетитор. Желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене.

Марк Аврелий «Размышления» («Наедине с собой») Книга первая

От Вера, моего деда, я унаследовал сердечность и незлобивость.

От славы моего родителя и оставленной им по себе памяти — скромность и мужественность.

От матери — благочестие, щедрость, воздержание не только от дурных дел, но и дурных помыслов. А также — простоту образа жизни, далекую от всякой роскоши.

От прадеда — то, что не пришлось посещать публичных школ; я пользовался услугами прекрасных учителей на дому и понял, что на это стоит потратиться.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎