Задачи Теорема косинусов методическая разработка по геометрии (11 класс) по теме

Последние годы обучающиеся крайне плохо решают задачи по геометрии . Я разрабатываю комплекс задач по геометрии, нужных для подготовки к ЕГЭ. Старалась делать от простых к сложным и и по темам.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Задачи по теме: «Теорема косинусов»

1. В АВС АВ=3, ВС=5, АС=6. На стороне АВ взята точка М так, что ВМ=2АМ, а на стороне ВС точка К так, что 3ВК=2КС. Найдите длину отрезка МК.

К 1) Из АВС по теореме косинусов найдём cosB:

А С 2) Из МВК по теореме косинусов находим МК:

МК 2 = МВ 2 +ВК 2 -2МВ ВК cosB. МВ= АВ=2, ВК= ВС=2, тогда МК 2 =2 2 +2 2 -2

МК 2 = 8+ , МК 2 = 8 = 8 , МК= = .

2. В окружности проведены хорды АВ= и АС=2 , ВАС=60 . Хорда АD- биссектриса ВАС. Найдите длину хорды AD.

А Четырёхугольник АВDC- вписанный в окружность. По

D условию AD- биссектриса ∠ ВАС, тогда = и тогда

B хорды, стягивающие равные дуги, равны, т.е. CD=BD, следовательно, ΔBCD- равнобедренный, отсюда следует, что ∠ BDC=120 (сумма противоположных углов 180 ). Пусть ВD=CD=x, тогда ВС= 2х cos30 = х . Из ΔАВС по теореме косинусов найдём ВС: ВС 2 = АВ 2 +АС 2 -2АВ cos60

x= и, наконец, AD= 2АВ cos30 =3.

3. В параллелограмме ABCD диагональ АС=16. Площадь параллелограмма 80 . ∠ CAD=60 . Найдите длину стороны АВ.

Пусть AD=х, S ΔADC =40 , S ΔADC = AD AC sin ∠ DAC,

A B тогда х 16 = 40 , отсюда х=10. Из того же ΔADC найдём DC по теореме косинусов:

DC 2 = AD 2 +AC 2 -2 AD AC cos ∠ DAC,

DC 2 = 100+256-2 10 16 ,

4. Две стороны треугольника равны 2 и 3, а площадь рана 3. Найдите третью сторону.

Площадь треугольника равна половине произведения

С двух сторон на синус угла между ними:

А S ΔАВС = 2 3 sin ∠ BAC, получим

2 3 sin ∠ BAC= 3, ∠ BAC= , следовательно ∠ BAC=45 или ∠ BAC=135 .

И третью сторону найдём по теореме косинусов:

ВС 2 = 9+8-2 3 или ВС 2 = 9+8-2 3

ВС 2 = 17-12 ВС 2 = 17+

5. В трапеции ABCD основание AD равно 16, а боковая сторона CD= . Окружность проходящая через точки А, В и С пересекает прямую AD в точке М, ∠ АМВ=60 . Найдите длину ВМ.

Трапеция ABCM- вписанная в окружность, поэтому она равнобедренная, следовательно, ∠ВАМ= ∠СМА и ∠САМ= ∠АМВ= 60 . Пусть АС=х, применяя теорему косинусов к ΔACD, получим: = х 2 +16 2 -2 16х cos60 ,

6. Из точки А, лежащей на окружности, проведены две хорды, равные 7 и 15. Найдите диаметр окружности, если расстояние между серединами хорд равно 10.

А В ΔАВС отрезок DE средняя линия, тогда ВС=20, т.к. DE=10

D по условию. Применим к ΔАВС теорему косинусов:

E ВС 2 = АВ 2 +АС 2 -2 АВ АС cos ∠ ВАС.

B 400= 49+225-2 7 15 ∠ ВАС

C 210 cos ∠ BAC= 274-400

cos ∠ BAC= , тогда ∠ ВАС- тупой. По теореме синусов:

= 2R => 2R=25, диаметр 25.

7. В окружность вписан правильный АВС. Радиус окружности . Хорда ВD пересекает сторону АС в точке Е. АЕ:ЕС= 3:5. Найти длину ВЕ.

С По теореме синусов = 2R, = отсюда

А Е АВ= АВС- равносторонний по условию,

D следовательно, АС=8, АЕ=3, ЕС=5. Применим к СВЕ

теорему косинусов: ВЕ 2 =8 2 +5 2 -2 . 8 . 5cos60 . ВЕ 2 =49, ВЕ=7.

8. Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной 1. Косинус среднего по величине угла этого треугольника равен . Найдите периметр треугольника.

Пусть средняя по величине сторона имеет длину х, тогда две

С другие х-1 и х+1, АВ=х-1, ВС= х+1. В треугольнике против

А большей стороны лежит больший угол, тогда данный угол противолежит стороне АС=х и по теореме косинусов получим:

АС 2 = АВ 2 +ВС 2 -2 . АВ . ВС . cosBх 2 = (х-1) 2 +(х+1) 2 -2 . (х-1)(х+1) , решая уравнение получим х= и

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Решение задач предусматривает умение применять знания в стандартных условиях или при небольших отклонениях от них. Так же рассматриваются задачи, в которых требуется уметь применять знания в усложненн.

Целью урока является изучение теоремы косинусов и её следствий, формирование у учащихся навыков решения задач по данной те.

Урок устанавливает личностный контакт учителя с учащимися через формирование целей урока, их взаимное принятие и включение мотива на совместную работу. Положительная мотивация достиг.

Последние годы обучающиеся крайне плохо решают задачи по геометрии . Я разрабатываю комплекс задач по геометрии, нужных для подготовки к ЕГЭ. Старалась делать от простых к сложным и и по темам.

Материал презентации к уроку геометрии "Теорема синусов. Теорема косинусов".

Повторение по теме: "Решение треугольников" Задачи на теорему синусов и теорему космнусов.