Работа с внешними углами многоугольника с помощью тригонометрии

Внешний угол многоугольника – угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом многоугольника.

Замечание: Синус и острого, и тупого угла – положительное число. Косинус, тангенс и котангенс острого угла – положительное число, а тупого угла – отрицательное число.(острый угол: \(0^\circ<\alpha<90^\circ\) , тупой угол: \(90^\circ<\alpha<180^\circ\) )

Дан выпуклый четырехугольник \(GEOM\) , причем \(\angle G+\angle E+\angle O=330^\circ\) . Найдите синус внешнего угла при вершине \(M\) .

Т.к. сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна \(360^\circ\) , то \(\angle M=360^\circ - 330^\circ =30^\circ\) . Следовательно, \(\sin \angle M=\sin 30^\circ =0,5\) . Т.к. синусы смежных углов равны, то \(\sin M_=0,5\) .

Дан треугольник \(ABC\) , причем \(\sin (\angle A+\angle B)=0,67\) . Найдите синус угла \(ACB\) .

Т.к. в треугольнике внешний угол при вершине \(C\) равен сумме углов \(A\) и \(B\) , то и \(\sin \angle C_=\sin (\angle A+\angle B)=0,67\) .Т.к. синусы смежных углов равны, то \(\sin \angle C=\sin \angle C_=0,67\) .

В треугольнике \(ABC\) : \(\angle B < 90^\) , \(\sin = 0,8\) . Найдите косинус внешнего угла при вершине \(B\) .

Синусы смежных углов равны: \(\sin = \sin\) , тогда синус внешнего угла при вершине \(B\) равен \(0,8\) .

Используя основное тригонометрическое тождество ( \(\sin^2 + \cos^2 = 1\) ), находим, что косинус внешнего угла при вершине \(B\) равен \(\pm 0,6\) .

Так как \(\angle ABC < 90^\) , то внешний угол при вершине \(B\) – тупой, следовательно, его косинус отрицателен. Косинус внешнего угла при вершине \(B\) равен \(-0,6\) .

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(\cos (\angle B+\angle C)=0,33\) . Найдите косинус угла \(A\) .

Т.к. в треугольнике внешний угол при вершине \(A\) равен сумме углов \(B\) и \(C\) , то \(\cos \angle A_=\cos(\angle B+\angle C)=0,33\) .Т.к. косинусы смежных углов отличаются только знаком, то \(\cos \angle A=-\cos \angle A_=-0,33\) .

Дан выпуклый пятиугольник, причем сумма четырех его внутренних углов равна \(420^\circ\) . Найдите квадрат косинуса внешнего угла при вершине оставшегося пятого угла.

Т.к. сумма внутренних углов выпуклого \(n\) -угольника вычисляется по формуле \(180^\circ \cdot (n-2)\) , то сумма внутренних углов нашего пятиугольника равна \(540^\circ\) . Следовательно, если \(\angle H+\angle O+\angle U+\angle S=420^\circ \quad \Rightarrow \quad \angle E=540^\circ -420^\circ =120^\circ\) .

Следовательно, \(\angle E_=180^\circ -\angle E=60^\circ\) . Следовательно, \(\cos\angle E_=\cos ^260^\circ =\dfrac14=0,25\) .

В четырёхугольнике \(ABCD\) с тупыми углами \(C\) и \(D\) продолжение стороны \(AD\) за точку \(D\) и продолжение стороны \(BC\) за точку \(C\) пересеклись в точке \(E\) под прямым углом. При этом \(\sin = 0,6\) . Найдите \(\sin\) .

Из основного тригонометрического тождества с учётом того, что \(\angle DCE\) – острый, получаем: \(\cos = 0,8\) .

Из определений синуса и косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике получаем, что \(\sin = \cos = 0,8\) .

Так как синусы смежных углов равны, то \(\sin = \sin = 0,8\) .

В невыпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) ( \(\angle C > 180^\circ\) ) сторону \(AD\) продолжили за точки \(A\) и \(D\) , получив по одному внешнему углу при вершинах \(A\) и \(D\) . \(\angle BAD = 2\cdot \angle CDA\) . Найдите косинус внешнего угла при вершине \(A\) , если косинус внешнего угла при вершине \(D\) получился \(-0,9\) .

Косинусы смежных углов противоположны: \(\cos = -\cos\) .

Косинус внешнего угла при вершине \(D\) равен \((-1)\cdot \cos\) , откуда \(\cos = 0,9\) .

\(\angle BAD = 2\cdot \angle CDA\) , тогда \(\cos = 2\cos^2 - 1 = 0,62\) .

Так как косинус внешнего угла равен минус косинусу угла, смежного с ним, то косинус внешнего угла при вершине \(A\) равен \(-0,62\) .

Задания, в которых школьникам необходимо найти внешние углы многоугольника, в ЕГЭ по математике традиционно встречаются из года в год. Правильно решать подобные задачи должны уметь выпускники, сдающие как базовый, так и профильный уровень аттестационного испытания. Школьники, которые освоили задания из раздела «Работа с внешними углами многоугольника», смогут справиться с ЕГЭ и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам его прохождения.

Как подготовиться к экзамену?

Перед решением задач на нахождение внешних углов многоугольника в ЕГЭ стоит освежить в памяти определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике. Кроме того, для некоторых заданий могут потребоваться формулы основных тригонометрических тождеств.

Восполнить пробелы в знаниях, например, по теме «Вычисление синуса угла треугольника» и лучше усвоить информацию вам поможет образовательный проект «Школково». Для того чтобы выпускники могли успешно справляться с задачами на нахождение внешних углов треугольника в ЕГЭ, мы предоставляем возможность повторить определения и основные правила. Весь необходимый базовый материал вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Наши специалисты подобрали соответствующую информацию.

Для закрепления теоретического материала мы предлагаем выполнить упражнения по теме «Работа с внешними углами многоугольника». Подборка простых и сложных заданий представлена в блоке «Каталог». Наши специалисты регулярно обновляют и дополняют упражнения.

Попрактиковаться в решении задач на нахождение внешних углов многоугольника, подобных тем, которые встречаются в ЕГЭ, можно в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России.