Производная e в степени x и показательной функции

Производная показательной функции с основанием степени a равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a : (2) .

Экспонента – это показательная функция, у которой основание степени равно числу e , которое является следующим пределом: . Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу (1) производной экспоненты.

Вывод формулы производной экспоненты

Рассмотрим экспоненту, e в степени x : y = e x . Эта функция определена для всех . Найдем ее производную по переменной x . По определению, производная является следующим пределом: (3) .

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам понадобятся следующие факты: А) Свойство экспоненты: (4) ; Б) Свойство логарифма: (5) ; В) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции: (6) . Здесь – некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен. Г) Значение второго замечательного предела: (7) .

Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4): ; .

Сделаем подстановку . Тогда ; . В силу непрерывности экспоненты, . Поэтому при , . В результате получаем: .

Сделаем подстановку . Тогда . При , . И мы имеем: .

Применим свойство логарифма (5): . Тогда .

Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то: . Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом (7). Тогда .

Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты.

Вывод формулы производной показательной функции

Теперь выведем формулу (2) производной показательной функции с основанием степени a . Мы считаем, что и . Тогда показательная функция (8) Определена для всех .

Преобразуем формулу (8). Для этого воспользуемся свойствами показательной функции и логарифма. ; . Итак, мы преобразовали формулу (8) к следующему виду: .

Тем самым, мы нашли производную показательной функции с произвольным основанием степени: .

Другие способы вывода производной экспоненты

Пусть нам известна формула производной натурального логарифма: (9) . Тогда мы можем вывести формулу производной экспоненты, учитывая, что экспонента является обратной функцией к натуральному логарифму.

Перепишем формулу (9) в следующем виде: , где . Переменные можно обозначать любыми буквами. Поменяем местами x и y : (10) , где .

Теперь рассмотрим экспоненту ( e в степени x ): (11) . Применим формулу производной обратной функции: (12) . Обратной функцией к экспоненте является натуральный логарифм. Подставим значение производной натурального логарифма (10): . И, наконец, выразим y через x по формуле (11): . Формула доказана.

Теперь докажем формулу производной экспоненты, применяя формулу производной сложной функции. Поскольку функции и являются обратными друг к другу, то . Дифференцируем это уравнение по переменной x : (13) . Производная от икса равна единице: . Применим формулу производной сложной функции: . Здесь . Подставим в (13): . Отсюда .

Пример

Найти производные от e в степени 2x, e в степени 3x и e в степени nx. То есть найти производные функций y = e 2x , y = e 3x и y = e nx .

Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = e nx . Затем подставим n = 2 и n = 3 . И из общей формулы найдем выражения для производных от e 2x , e 3x и e nx .

Итак, имеем исходную функцию . Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций: 1) Функции , зависящей от переменной : ; 2) Функции , зависящей от переменной : . Тогда исходная функция составлена из функций и : .

Найдем производную от функции по переменной x: . Найдем производную от функции по переменной : . Применяем формулу производной сложной функции. . Здесь мы подставили .

Итак, мы нашли: . Подставляем n = 2 и n = 3 .

Производные высших порядков от e в степени x

Теперь найдем производные высших порядков. Сначала рассмотрим экспоненту: (14) . Мы нашли ее производную первого порядка: (1) .

Мы видим, что производная от функции (14) равна самой функции (14). Дифференцируя (1), получаем производные второго и третьего порядка: ; .

Отсюда видно, что производная n-го порядка также равна исходной функции: .

Теперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a : . Мы нашли ее производную первого порядка: (15) .

Дифференцируя (15), получаем производные второго и третьего порядка: ; .

Мы видим, что каждое дифференцирование приводит к умножению исходной функции на . Поэтому производная n-го порядка имеет следующий вид: .