Числовые промежутки - НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ СИСТЕМЫ - НЕРАВЕНСТВА
Цель: рассмотреть изображение и запись числовых промежутков.
I. Сообщение темы и цели урока
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).
1. Докажите теорему 5.
2. Оцените величину 3а – 4b, если 5 < a < 6 и 2 < b < 3.
3. Найдите наименьшее значение выражения
1. Докажите теорему 6.
2. Оцените величину 5а – 2b, если 7 < a < 8 и 3 < b < 4.
3. Найдите наименьшее значение выражения
III. Изучение нового материала (основные понятия)
Известно, что каждое число х на координатной прямой изображается точкой. Также верно и обратное утверждение: каждая точка на координатной прямой соответствует какому-то числу х. Рассмотрим на координатной прямой точки с координатами -5 и 4. Если точка расположена между ними, то ей соответствует число х, которое больше числа -5 и меньше числа 4 (т. е. число х удовлетворяет двойному неравенству -5 < х < 4).
Верно и обратное утверждение: если число х удовлетворяет неравенству -5 < х < 4, то на координатной оси число х изображается точкой, расположенной между точками с координатами -5 и 4. Множество всех чисел, удовлетворяющих условию -5 < х < 4, называют числовым промежутком (или промежутком) от -5 до 4 и обозначают символом (-5; 4) (при этом читают «промежуток от -5 до 4»). Такой промежуток изображен (заштрихован) на рисунке. Заметим, что круглые скобки в символе (-5; 4) указывают, что границы -5 и 4 в рассматриваемый промежуток не входят.
В математике рассматриваются и другие виды промежутков. В таблице для каждого вида числового промежутка приведены его изображение на координатной оси, запись с помощью неравенств, обозначение и прочтение.
Запись с помощью неравенств
Промежуток от -5 до 4
Промежуток от -5 до 4, включая -5 и 4
Промежуток от -5 до 4, включая -5
Промежуток от -5 до 4, включая 4
Промежуток от 4 до плюс бесконечности
Промежуток от 4 до плюс бесконечности, включая 4
Промежуток от минус бесконечности до -5
Промежуток от минус бесконечности до -5, включая -5
Заметим, что если граничная точка в промежуток не входит, то на координатной оси она изображается пустой точкой и в обозначении промежутка выделяется круглой скобкой. Если граничная точка в промежуток входит, то на координатной оси она изображается заполненной точкой и в обозначении промежутка выделяется квадратной скобкой.
Множество действительных чисел изображается всей координатной прямой. Это множество обозначают (-∞; +∞) (читается «промежуток от минус бесконечности до плюс бесконечности»).
Для дальнейшего обсуждения темы рассмотрим некоторые понятия теории множеств. Множество относится к первичным неопределяемым понятиям (подобно понятию натурального числа, точки, плоскости и т. д.). Поэтому под множеством будем понимать совокупность (или набор) элементов, отобранных по определенному признаку (признакам). Например: множество книг в шкафу, множество точек данной фигуры, множество двузначных натуральных чисел и т. д. Заметим, что понятие «множество» не следует понимать как совокупность, содержащую «много» элементов. Множество может содержать один, два и т. д. элемента. Более того, в математике приходится рассматривать и пустое множество, которое не содержит ни одного элемента. Например, множество книг в данном шкафу (а шкаф может быть и одежным) может оказаться пустым.
Множества обычно обозначают прописными буквами латинского алфавита: А, В и т. д., а их элементы — строчными буквами: а, b. Пустое множество обозначают символом Ø. Если множество А состоит из n элементов a1, a2 . an, то пишут A = < a1, a2 . an>.
Говорят, что «элемент а принадлежит множеству А» и записывают а ∈ А или А ∋ а (А содержит а). «Элемента а не принадлежит множеству А» (А не содержит а) записывают так: а ∉ А или
Пусть A — множество цифр, т. е. A = . Тогда, очевидно, 7 ∈ А и 10 ∉ А.
Рассмотрим две основные операции над множествами: пересечение множеств и объединение множеств.
Пересечением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащим одновременно обоим множествам. Пересечение этих множеств обозначают символом А∩В.
Пусть даны множества А = и B = . Так как числа 3, 7 и 9 одновременно принадлежат обоим множествам, то эти числа являются элементами множества А∩В ,т. е. A∩В = .
Можно дать наглядную иллюстрацию такой операции. Пусть А и В — множества точек данных фигур. Тогда фигура, являющаяся общей частью фигур А и В, содержит точки, одновременно принадлежащие этим фигурам. Поэтому эта общая часть — пересечение данных множеств А∩В (выделено двойной штриховкой).
Если множества А и В не имеют общих элементов, то пересечением этих множеств будет пустое множество.
Объединением множеств A и В называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств. Объединение этих множеств обозначают символом AUВ.
Еще раз вернемся к примеру 2. Опять рассмотрим множества A = и В = . Так как числа 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9 принадлежат или множеству А, или множеству В, или обоим этим множествам, то эти числа являются элементами множества АUВ, т. е. AUB = .
Дадим иллюстрацию такой операции. Заштрихованная фигура содержит точки, принадлежащие или фигуре А, или фигуре В, или обеим этим фигурам. Поэтому заштрихованная фигура — объединение данных множеств А и В.
Теперь рассмотрим множества, представляющие собой числовые промежутки.
а) На рисунке изображены промежутки [-2; 3) и (1; 5]. Промежуток (1; 3) представляет собой их общую часть.
Поэтому промежуток (1; 3) является пересечением промежутков [-2; 3)]. Это можно записать так: [-2; 3)∩(1; 5] = (1; 3). Промежуток [-2; 5] является объединением промежутков [-2; 3) и (1; 5], т. к. любая точка промежутка [-2; 5] принадлежит или промежутку [-2; 3), или промежутку (1; 5], или обоим промежуткам одновременно. Это можно записать так: [-2; 3)U(1; 5] = [-2; 5].
б) На рисунке изображены промежутки [-2; 1) и (3; 5]. Эти промежутки не имеют общих точек. Поэтому пересечением этих промежутков является пустое множество, т. е. [-2; 1)∩(3; 5] = Ø. Объединением этих промежутков (-2; 1)U(3; 5] являются сами эти промежутки (а не один промежуток), т. к. любая точка из множества [-2; 1)U(3; 5] принадлежит или промежутку [-2; 1), или промежутку (3; 5].
IV. Контрольные вопросы
1. Приведите примеры разных видов числовых промежутков.
2. Дайте определение пересечения и объединения множеств А и В.
3. Рассмотрите два промежутка. Укажите их пересечение и объединение. Ответ обоснуйте.
V. Задание на уроке
№ 761 (а, д, ж); 763 (а, г); 764 (в, г); 765 (а); 768; 770 (а, б); 771 (а); 772; 774 (б, в).
VI. Задание на дом
№ 762; 763 (б, в); 764 (а, б); 765 (б); 767; 770 (в, г); 771 (в); 773 (а, г); 775 (а, г).
VII. Творческие задания
1. Найдите пересечение и объединение множеств А и В:
г) А — множество натуральных двузначных чисел, В — множество чисел, кратных 5.
д) А — множество отрицательных целых чисел, В — множество цифр.
2. Найдите пересечение и объединение множеств А, В и С.
б) А: (-3; 5) B: [-4; 4) С: (-2; 4].
VIII. Подведение итогов урока
Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.
Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.
Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.
Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.