Рабочая тетрадь "Геометрические фигуры на плоскости" методическая разработка по геометрии по теме

Рабочая тетрадь предназначена для повторения основных разделов курса " Геометрические фигуры на плоскости".

Цель данной работы:

систематизировать имеющиеся у учащихся знания и ликвидировать пробелы в них;

подготовить учащихся к изучению стереометрии;

подготовить учащихся к решению планиметрических задач, входящих в ЕГЭ по математике.

Изложение теоретического материала представлено в конспективной форме. Показаны приемы решения задач, а также выделены общие ориентиры по поиску плана решения.

Отбор теоретического и практического материала обоснован необходимостью выработки у учащихся навыков решения задач, которые являются составной частью решения упражнений раздела " Геометрия в пространстве".

Скачать:

Предварительный просмотр:

1.1. Прямоугольный треугольник.

1.2. Равнобедренный треугольник.

1.3. Равносторонний треугольник.

3. Задачи по планиметрии, входящие в содержание ЕГЭ.

4. Проверочная работа.

Список использованной литературы

Во всяком треугольнике сумма углов равна 180° или ᴫ радиан.

Всякий внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то и третьи углы равны.

Опр. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника.

Высота BD обозначается буквой h.

Опр. Биссектрисой треугольника называется отрезок

биссектрисы любого угла этого треугольника

от вершины до пересечения

с противоположной стороной.

Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке,лежащей всегда внутри треугольника и являющейся центром вписанной окружности.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону треугольника на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, которая называется орто центром.

Опр. Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий произвольную его вершину с серединой противолежащей стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка всегда находится внутри треугольника, являясь его центром тяжести.

Точка пересечения медиан треугольника

делит каждую медиану в отношении 2˸1

( считая от вершины).

Сумма квадратов медиан равна

трем четвертям суммы квадратов

AM=m a , CN=m c , BD=m b

m 2 a +m 2 b + m 2 c =(a 2 +b 2 +c 2 ) ,

где m a - медиана стороны а

m b -медиана стороны b

m c -медиана стороны с.

Для вычисления площади треугольника можно воспользоваться одной из следующих формул:

1. S=ah a , где а-основание треугольника,

h a - соответствующая высота.

1. S=absinC , где а и b - стороны, С - угол между ними.

1. S=pr , где p=(a+b+c)/2 -полупериметр, r- радиус

1. S= , где а,b,с - стороны,

R- радиус описанной окружности.

1. S= - Формула Герона, где а,b,с - стороны,

Опр. Окружность называется описанной около

треугольника, если она проходит через все его вершины.

Три перпендикуляра к сторонам треугольника,

проведенные через их середины, пересекаются

в одной точке, являющейся центром описанной

Опр. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Центр окружности, вписанной в треугольник,

является точкой пересечения его биссектрис r=OK

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc·cosα

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Сумма всех сторон любого треугольника называется его периметром и обозначается Р ∆АВС .

1. Найти радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 8, 15, 17.

Решение: Радиус описанной окружности можно выразить из формулы:

Чтобы найти площадь треугольника, зная его стороны, используют формулу Герона:

2. Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 5.Сторона АС=5, высота ВD=4. Найти длину стороны ВС.

Для решения этой задачи используем такой прем: возьмем две подходящие по условию формулы площади треугольника

и приравняем их bh b =.

Разделим обе части равенства на множитель b≠0: h b =

Подставим в полученное равенство известные величины: 4= и выразим а=_____________________

3. Найти синус угла А в треугольнике АВС, если ВС=3√3, АС=15, угол В равен 60°.

ВС= 3√3 По теореме синусов

Выразим из этого равенства sin A=__________________________

4. В треугольнике АВС углы В и С соответственно равны и .

Найти длину стороны АС, если АВ=.

ﮮС= По теореме синусов:

5. В треугольнике АВС даны три стороны а=√10,b=2, c=3. Найти его медиану m a

а=√10 По теореме косинусов:

c=3 b 2 =a 2 +c 2 - 2ac·cos В

Выразим из формулы cosВ

Рассмотрим ∆АВК: по теореме синусов АК 2 =АВ 2 +ВК 2 -2·АВ·ВК·cos B

Медиана АК=m a делит сторону ВС пополам,т.е. ВК===______

АК 2 =__________________________________________________________

6. Найти меньшую высоту треугольника со сторонами 13 см, 14 см, 15 см.

а=13 см Меньшей будет высота,

b=14 см проведенная к большей

c=15 см. стороне-h c .

h Вспомним прием, использующий

две формулы площади.

Запишите эти Формулы:

Найдем площадь треугольника____________________________________________________

Зная площадь треугольника, из второй формулы найдем высоту h c

h c =_________________________________________________

1.1. Прямоугольный треугольник.

Треугольник называется прямоугольным , если у него есть прямой угол.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой , две другие стороны называются катетами.

Признаки равенства прямоугольных

1. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

( Признак равенства по гипотенузе и острому углу)

2. Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

(Признак равенства по катету и противолежащему углу)

3. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.

( Признак равенства по гипотенузе и катету)

В прямоугольном треугольнике катет,

противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Из теоремы Пифагора следует, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.

Пусть АС- перпендикуляр, проведенный из точки А на прямую а, и В- любая точка прямой а, отличная от С. В этом случае отрезок АВ называется наклонной , проведенной из точки А к прямой а.

Точка В называется основанием наклонной,

а отрезок ВС называется проекцией наклонной.

Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то:

1. каждая наклонная больше перпендикуляра;
2. равные наклонные имеют равные проекции;
3. из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпaдает с серединой гипотенузы.

Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

Отрезок ОС является и радиусом описанной окружности и медианой, проведенной к гипотенузе.

Т.о., медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы. ОС=.

Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом С и острым углом при вершине А, равным α.

Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом угла α называется отношение

прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом угла α называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Катет ВС-противолежащий к углу α, tgα==

катет АС- прилежащий к углу α.

Катет прямоугольного треугольника есть

среднее пропорциональное между

гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С, АD и BD- проекции катетов АС и ВС на гипотенузу АВ.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

(2) h=h- высота, проведенная к

Если формулу (2) подставить в формулу (1),

Центр тяжести прямоугольного треугольника отстоит от сторон а, b и с на расстоянии , , соответственно.

1. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 м. Найти гипотенузу.

ﮮА=90° Обозначим АС=х

ﮮ С=60° В треугольнике против

СВ+АС=18 большего угла лежит большая

Найти: сторона. В ∆АВС против

СВ меньшего угла ﮮВ=30°

лежит меньший катет АС.

Т.к. в прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30° равен половине гипотенузы, то ВС=_________

ПО условию СВ+АС=18

Составим уравнение: __________________

и решим его _________________________

2. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 дм и 18 дм. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

______ 1) Радиус окружности, описанной около

_______ прямоугольного треугольника

________ 2) По теореме Пифагора найдем

3. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°, а больший катет равен 6 м. Найти две другие стороны этого треугольника.

_______ 1) В треугольнике против большего угла

_______ лежит ____________________________

______ В ∆АВС большим будет катет ________

Найти: 2) Напишите катет, лежащий напротив

________ угла 30° ____________, обозначим его х,

он равен половине__________________.

3) По теореме Пифагора составим уравнение _________________________________

и решим его __________________________________

4. В прямоугольном треугольнике один угол 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 28 см. Найдите гипотенузу.

_______ __________________ _________________

5. В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 1:2. Найдите гипотенузу, если меньший катет равен 7 см.

_______ __________________ _________________

6. В прямоугольном треугольнике один острый угол равен 45°. Найдите катеты, если их сумма равна 42 м.

_______ __________________ _________________

7. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Найти катеты треугольника.

АD=5 см E и F - точки касания

DB=12 см вписанной окружности и

О-центр вписан.окр. соответствующих катетов .

Найти: По свойству касательных к

АС окружности, проведенных

СВ из одной точки: АD=АF,

(Действительно, ∆А FО=∆АDО, т.к. имеют общую гипотенузу АО и по одному равному катету FО=DО=r)

Пусть ЕС=х, тогда по теореме Пифагора для ∆АВС:

(5+х) 2 +(12+х) 2 =(5+12) 2

8. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см, а его катеты относятся как 5:12. Найти больший катет треугольника.

∆АВС Запишите теорему Пифагора

ﮮС=90° для ∆АВС:______________________(1)

АВ=26 см Выразим АС из пропорции в условии

Найти: и подставим в формулу (1)

9. Найти площадь прямоугольного треугольника, если его катеты относятся как 3:4, а гипотенуза равна 25.

_______ __________________ ________________

10. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а один из катетов 5 см. Найти площадь этого треугольника.

_______ __________________ ________________

11. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза больше другого катета на 8 см. Найти гипотенузу.

_______ __________________ ________________

12. В прямоугольном треугольнике один катет равен 3 см, радиус описанной окружности равен 2,5 см. Найти другой катет и площадь треугольника.

_______ __________________ ________________

13. Вокруг прямоугольного треугольника с катетами 8 см и 6 см описана окружность. Найти ее радиус.

_______ __________________ ________________

14. В прямоугольном треугольнике медиана, опущенная из прямого угла, равна одному из катетов. Найти меньший угол треугольника.

∆АВС Известно, что в прямоугольном

ﮮС=90° треугольнике медиана, опущенная на

СК- медиана гипотенузу равна половине

В прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит_____________________________________________________________АС=_______________

15. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 6 см, другой катет равен 8 см. Найти длину медианы,проведенной к гипотенузе.

_______ По тереме Пифагора:

________ В прямоугольном треугольнике

Найти: медиана, опущенная на гипотенузу

16. В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза а и угол 60°. Найти периметр данного треугольника.

_________ Катет, лежащий против угла_____

Найти: Синус острого угла в прямоугольном

_________ треугольнике равен отношению

Р ∆АВС =АС+СВ+АВ=________________________________

1.2. Равнобедренный треугольник.

Треугольник называется равнобедренным , если у него две стороны равны.

Равные стороны треугольника называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием.

В ∆АВС АВ=СВ, значит, ∆АВС- равнобедренный с основанием АС. АВ и АС-боковые стороны.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике медиана,

проведенная к основанию, является

биссектрисой и высотой.

ВD- медиана, биссектриса и высота ∆АВС.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°.

1. Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника по его гипотенузе, равной 4√2.

∆АВС-равнобедренный, следовательно АС=____=х

По теореме Пифагора составим уравнение:_________________________

и решим его ____________________________________________________

Площадь прямоугольного треугольника находится по формуле S ∆АВС =____________________

S ∆АВС =_____________

2. Периметр равнобедренного треугольника равен 35 м. Одна сторона в 3 раза больше другой. Найдите стороны треугольника.

Пусть боковая сторона треугольника х, тогда основание ________

3. В равнобедренном треугольнике угол, противолежащий основанию

равен 120°, а биссектриса, проведенная к основанию, равна 8 см. Найти боковую сторону.

∆АВС:АВ=ВС Т.к. ВК - биссектриса ﮮ АВС,

ﮮАВС=120° то ﮮАВК=ﮮКВС=_________

ВК-биссект. В равнобедренном

ВК=8 см. треугольнике биссектриса

Найти: является также __________

Следовательно, ∆АВК- ____________________________

4. В равнобедренном треугольнике основание равно 12√3, угол при вершине 120°. Определите проекцию высоты на боковую сторону.

Найти: В равнобедренном треугольнике

ВК высота является также_______

Т.к. ВD-высота, то ∆АВD-___________________________

sin ABD=____________________Отсюда АВ=_____________________________

tg ABD=_____________________Отсюда BD=___________________________

DK перпендикуляр к АВ, следовательно DK-высота в ∆АВD

DВ 2 =АВ·ВК Отсюда ВК=________________________________________

5. В равнобедренном треугольнике углы при основании 30°, а высота, опущенная на это основание, равны 3. Найти радиус описанной окружности треугольника.

Из формулы S= выразим R:

Т.к. ∆АВС равнобедренный а=b.

Площадь ∆АВС можно найти по формуле: S= (2)

Подставьте формулу (2) в формулу (1) :

Против угла А, равного 30° лежит катет _________, равный ________________________________________________________________

6. Боковая сторона равнобедренного треугольника, основание которого равно 4, делится точкой касания вписанной в него окружности в отношении 3:2, считая от вершины. Найти периметр треугольника.

∆АВС:АВ=ВС Центром вписанной окружности

Найти: В равнобедренном треугольнике

Р ∆АВС биссектриса ВD является также

Ключом для решения данной задачи является теорема:

" Если из какой-либо точки проведены две касательные к окружности, то отрезки касательных равны, а центр окружности лежит на биссектрисе угла, образованного этими касательными".

Из соотношения ВЕ:ЕА=3:2 находим ВЕ=______________________________

Р ∆АВС =__________________________________________________

7. Найти высоту и площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 16, а боковая сторона 10.

_______ __________________ ________________

8. Высота равнобедренного треугольника равна 15 см. Основание больше боковой стороны на 15 см. Найти основание этого треугольника.

_______ __________________ ________________

9. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 5 см, а косинус угла при основании 0,6. Найти радиус вписанного круга.

_______ __________________ ________________

1.3. Равносторонний треугольник.

Треугольник называется равносторонним

(или правильным ), если все его стороны

равны между собой.

В равностороннем треугольнике каждая медиана совпадает с биссектрисой и высотой,

проведенными из той же вершины.

m a =l a =h a =. =h c

Ортоцентр, центр тяжести, центр вписанной

и описанной окружности в равностороннем

Все углы в равностороннем треугольнике равны.

1. Радиус окружности равен 10. Найти длину медианы вписанного в нее правильного треугольника.

2. Около равнобедренного треугольника описана окружность радиуса .

Угол при основании треугольника 60°. Найти площадь треугольника.

∆АВС:АВ=АС Т.к. ∆АВС-равнобедренный, то

Найти: Следовательно, ∆АВС-_______

S ∆АВС __________________________________________

Из ∆АВD: sin B=________________

S ∆АВС =________________________________

3. Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, боковая сторона равна 2√3, а угол при вершине 60°.

_______ __________________ ________________

4. Найти площадь равностороннего треугольника со стороной а=12√3.

_______ __________________ ________________

5. Площадь равностороннего треугольника равна . Найти длину его биссектрисы.

_______ __________________ ________________

Отрезки, соединяющие противолежащие вершины

четырехугольника, называются диагоналями . АС и ВD -диагонали

Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами.

Стороны, не имеющие общего конца, называются противоположными .

АВ и СD, ВС и АD.

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Противолежащие стороны равны.

Противолежащие углы равны.

Сумма углов, прилегающих к произвольной стороне

ﮮА+ﮮB =ﮮB +ﮮС=ﮮС+ﮮD= ﮮD+ ﮮА=180°

Диагонали параллелограмма пересекаются

и точкой пересечения делятся пополам.

Две диагонали параллелограмма делят его на четыре

Диагональ параллелограмма делит его на два

равновеликих треугольника. ∆АВD=∆ВDС

Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов

всех его сторон.

Е сли диагонали четырехугольника пересекаются и точкой

пересечения делятся пополам , то этот четырехугольник- параллелограмм.

Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны , то этот четырехугольник - параллелограмм.

Условимся высотой параллелограмма называть перпендикуляр, проведенный из вершины этого

параллелограмма к не прилегающей стороне.

Площадь параллелограмма равна произведению

основания на высоту.

(Через сторону параллелограмма и проведенную к ней высоту)

(Через две стороны параллелограмма и угол между ними)

( Через диагонали параллелограмма и угол между ними)

1. Площадь параллелограмма равна 120, стороны 15 и 10. Найти высоту.

S АВСD =120 S=a •b• sin α Выразим из этой

a=15 формулы sinα=___________

Найти: Рассмотрим ∆АКD-

Составим соотношение для синуса угла А в этом треугольнике:___________________________________________

Отсюда h b =________________________

2. Стороны параллелограмма равны соответственно 6 и 16, а его тупой угол равен 120°. Найти длину меньшей диагонали параллелограмма.

ﮮАDС=120° Т.к. сумма углов, прилегающих к произвольной

Найти: стороне равна 180°. ﮮА+ﮮB=180°, то найдем

ВD величину угла А:__________________________

по теореме косинусов найдем ВD:______________________

Прямоугольник - это параллелограмм, к которого все

Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма и имеет свои особые свойства:

1. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

1. Прямоугольник имеет две оси симметрии,

которые совпадают с серединными перпендикулярами

1. Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения

диагоналей и радиусом,

равным половине диагонали

Площадь прямоугольника можно определить:

- через его стороны

- через диагонали и угол между ними

В прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов двух его смежных сторон.

1. В прямоугольнике АВСD АВ=СD=а, ﮮВАС=60°. Определите периметр прямоугольника, его диагонали и площадь.

____________ Найдем угол АСВ:_______________________________

____________ Рассмотрим ∆АВС-_______________________

___________ Найдем ВС=_____________

Р АВСD =________________________

S АВСD =___________________________________________________________

2. Во сколько раз изменится площадь прямоугольника, если каждую его сторону увеличит в 3 раза ?

Ромбом называется параллелограмм, у которого

все стороны равны.

Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма

и имеет свои особые свойства:

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

Площадь ромба может быть определена:

- через сторону и угол ромба

- через сторону и высоту

- через сторону и радиус вписанной окружности

Диагонали ромба можно вычислить, зная его сторону а и угол α:

d 1 2 +d 2 2 =4a 2

Радиус окружности, вписанной в ромб , можно вычислить:

- через высоту ромба

- через диагонали ромба и сторону

- через площадь r=

1. В ромбе длины диагоналей 10 см и 15 см. Найти площадь ромба.

2. Площадь ромба равна 24, а одна из диагоналей 6. Найти длину стороны ромба.

Зная площадь ромба и одну диагональ. можно вычислить другую диагональ из формулы :

Выразим d 2 =_______________________

Найдем сторону ромба с помощью формулы:

4a 2 = d 1 2 +d 2 2

3. Диагональ ромба образует с его стороной угол 25°. Найти больший угол ромба.

Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны.

У квадрата все углы прямые.

Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.

Квадрат имеет четыре оси симметрии- прямые, проходящие:

- через его диагонали;

- через середины противоположных сторон

Радиус описанной окружности

Радиус вписанной окружности

Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника.

Диагональ квадрата со стороной а найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника:

1. Найти сторону квадрата, равновеликого прямоугольнику со сторонами 9 см и 4 см.

2. Во сколько раз изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 5 раз ?

3. Найти площадь квадрата, вписанного в окружность радиусом R=3см.

Рассмотрим ∆АОD- прямоугольный со сторонами

По теореме Пифагора: АD 2 =___________________

4. Сторона квадрата равна 12 см. Найти радиус окружности, вписанной в квадрат.

Опр. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции.

Не параллельные стороны называются боковыми

Условимся высотой трапеции называть перпендикуляр, опущенный из произвольной точки основания трапеции на другое основание.

Опр. Средней линией трапеции называется

отрезок, соединяющий середины боковых

KL-средняя линия трапеции.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Опр. Трапеция, у которой боковые стороны равны,

называется равнобокой (равнобедренной).

У равнобокой трапеции:

- углы при основании равны ﮮА=ﮮD, ﮮB=ﮮC

- диагонали равны ВD=АС

Опр. Прямоугольной называется трапеция, у которой

одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.

Окружность можно вписать в трапецию, если сумма

ее боковых сторон равна сумме оснований.

Центр вписанной в трапецию окружности- точка пересечения биссектрис внутренних углов.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты.

Площадь трапеции можно определить :

- через полусумму оснований ( среднюю линию трапеции) и высоту

- через диагонали и угол между ними

Вокруг любой равнобокой трапеции можно описать окружность.

Если трапеция вписана в окружность, то она равнобокая.

1. В равнобокой трапеции большее основание равно 3,7 , боковая сторона равна 1,5 , а угол между ними равен 60°. Найдите среднюю линию трапеции.

________ Проведем перпендикуляры ВЕ и СК

________ к прямой А D:___________________

________ ∆АВЕ и ∆СКD-__________________

_________ Т.к. ЕК=ВС, то средняя линия трапеции:___________________

2. Найдите площадь равнобедренной трапеции, диагональ которой равна 3√2 и составляет с основанием угол 45°.

Запишите формулу площади трапеции:

Высоту найдем из ∆ АСH - ___________________ и _____________________,

т.к. ﮮАСЕ=_______________= ﮮ _________

По теореме Пифагора:

3. Задачи по планиметрии, входящие в содержание ЕГЭ.

1 . В треугольнике АВС угол С равен 90°, sin A=, AC=6. Найдите АВ.

________ Запишите формулу для

________ вычисления синуса угла А:

________ sin A= ________________________

Найти: Выразите СВ=__________________

________ Составьте уравнение по теореме

2 . В треугольнике АВС угол С равен 90°, sin A=. Найдите cos B.

_________ Т.к. сумма острых углов в прямоугольном

_________ треугольнике равна ____, то ﮮВ=_____________

__________ Тогда cos В=cos(______________)=__________

3 . В треугольнике АВС угол С равен 90°, sin A=. Найти sin В.

_________ Т.к. сумма острых углов в прямоугольном

_________ треугольнике равна ____, то ﮮВ=_____________

__________ Тогда sin В==____________________________

4. В треугольнике АВС угол С равен 90°, cos A=, АС=4. Найдите высоту СК.

________ Т.к. СК- высота ∆АВС, то СК___АВ

_________ Рассмотрим ∆ АСК-_____________

_________ СК-противолежащий катет к углу А

Запишите формулу для вычисления

_________ sin A в ∆ АСК:__________________

Найти: Выразите СК=__________________

_________ Зная значение cos A, найдите значение sin А:

5. Один острый угол прямоугольного треугольника на 10 ˚ больше другого. Найдите больший острый угол .

6 . В треугольнике АВС угол С равен 90˚, угол А равен 60˚, АВ=8. Найдите АС.