Метод площадей для решения задач

\(\blacktriangleright\) Теорема 1. Если вершину треугольника перемещать по прямой, параллельной противолежащей стороне, то площадь при этом останется прежней.

Доказательство: Рассмотрим три треугольника \(\triangle ABC, \triangle A_1BC, \triangle A_2BC\) . Т.к. \(A_1A_2\parallel BC\) , то расстояние от любой точки одной из этих прямых до другой прямой одинаково. То есть высоты, опущенные из точек \(A, A_1, A_2\) на прямую \(BC\) будут равны: \(AH=A_1H_1=A_2H_2=h\) . Т.к. у этих треугольников общее основание \(BC\) , то: \[S_=S_=S_=\dfrac12BC\cdot h\]

\(\blacktriangleright\) Теорема 2. Если два треугольника имеют равные высоты (общую высоту), то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.

Доказательство: Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ABC_1\) : т.к. высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противолежащую сторону, то \(AH\) — высота и \(\triangle ABC\) , и \(\triangle ABC_1\) . Следовательно: \[\dfrac=\dfrac=\dfrac\]

\(\blacktriangleright\) Теорема 3. Если два треугольника имеют одинаковые стороны (общую сторону), то их площади относятся как высоты, которые к этим сторонам проведены.

Доказательство: Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ABC_1\) . Проведем на их общую сторону \(AB\) высоты \(CH\) и \(C_1H_1\) . Тогда: \[\dfrac=\dfrac=\dfrac\]

\(\blacktriangleright\) Следствие: Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади.

Доказательство: по теореме 2 площади \(\triangle ABM\) и \(\triangle CBM\) относятся как основания \(AM\) и \(CM\) . Но \(AM=CM \Rightarrow S_=S_\) .

\(\blacktriangleright\) Следствие: Все три медианы треугольника делят его на шесть треугольников, равных по площади.

Аналогично доказывается, что \(S_=S_\) . Таким образом, площади всех этих треугольников равны.

\(\blacktriangleright\) Теорема 4. Если два треугольника имеют по равному углу (общему углу), то их площади относятся как произведения сторон, образующих эти углы.

Доказательство: Рассмотрим треугольники \(\triangle B_1AC_1\) и \(\triangle BAC\) , имеющие равный (общий) \(\angle A\) . Т.к. площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, то: \[\dfrac=\dfrac=\dfrac\]

\(\blacktriangleright\) Следствие: Биссектриса угла треугольника делит его на два треугольника, площади которых относятся как стороны, образующие этот угол.

\(\blacktriangleright\) Теорема 5. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство: т.к. треугольники подобны, то все стороны одного треугольника в \(k\) раз больше всех сторон другого, а углы между сходственными сторонами равны. Значит, \[\dfrac=\dfrac=\dfrac=k^2\]

\(\blacktriangleright\) Следствие: Все три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, и, как следствие, равных по площади.

Доказательство: \(\triangle_1, \triangle_2, \triangle_3 \sim \triangle ABC\) с коэффициентом подобия \(\dfrac12\) . Следовательно, \(S_=S_=S_=\dfrac14S_ \Rightarrow S_=S_-3S_=\dfrac14S_\)

Задачи на применение методов измерения площадей в ЕГЭ по математике встречаются ежегодно, поэтому при подготовке к прохождению аттестационного испытания учащимся непременно стоит повторить теорию по данной теме. Уметь справляться с такими заданиями обязательно должны выпускники, сдающие как базовый, так и профильный уровень экзамена. Разобравшись с основной теорией и практическими упражнениями на вычисление площадей плоских фигур, старшеклассники смогут решать задачи с любым количеством действий и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Как подготовиться к экзамену?

Зачастую найти источник, в котором представлен весь базовый теоретический материал, оказывается не так легко, как может показаться на первый взгляд. В нужный момент школьного учебника может просто не быть под рукой. А найти необходимые формулы иногда оказывается достаточно сложно даже в Интернете.

Образовательный портал «Школково» поможет вам подготовиться к сдаче аттестационного испытания. Все основы теории по теме «Измерение площадей плоских фигур» систематизированы и изложены нашими специалистами с учетом их богатого опыта в максимально доступной форме. Ознакомившись с представленной информацией, выпускники смогут восполнить пробелы в знаниях.

Чтобы качественно подготовиться к ЕГЭ, школьникам из Москвы и других городов необходимо не только повторить теорию по теме «Вычисление площадей плоских фигур», но и попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Найти задачи вы можете в разделе «Каталог». Для каждого задания наши специалисты прописали подробный алгоритм решения и указали правильный ответ. Последовательно выполняя простые и более сложные упражнения по данной теме, учащиеся смогут отработать навык решения подобных задач. Перечень заданий в соответствующем разделе постоянно дополняется и обновляется.

Ознакомиться с теорией и попрактиковаться в решении задач на вычисление площади треугольника и других фигур, подобных тем, которые включены в ЕГЭ, можно в режиме онлайн. При необходимости любое упражнение можно сохранить в «Избранное». Еще раз повторив базовую теорию, выпускник может в дальнейшем вернуться к задаче на вычисление площади фигуры с целью обсуждения алгоритма ее решения со своим преподавателем.