Построение треугольников с углами 45, 135 градусов и их замечательных точек на клетчатой бумаге

Введение. Традиционные задачи на построение при помощи циркуля и линейки занимают много учебного времени, поэтому довольно часто им не уделяется достаточное внимание. К тому же они отсутствуют на экзаменах по математике. Отсутствие задач на построение снижает качество обучения, замедляет развитие геометрических представлений у учащихся. При решении многих задач по геометрии необходимо уметь проводить дополнительные построения. Задачи на построение на клетчатой бумаге являются хорошим дополнением к традиционным задачам на построение при помощи циркуля и линейки без делений. Они способствуют развитию конструктивных умений учащихся и не требуют специальных инструментов. В журнале Математика в школе №5, 2011 приведено несколько таких задач [4]. Цели, задачи, материалы и методы. Если вершины фигуры находятся в узлах клеток, то метрические компоненты выражаются в целых числах, а также в так называемых «удобных» иррациональных множителях a√2, b√3, которые напрямую связаны с треугольниками с углами 30 о ,45 о ,60 о ,120 о ,135 о и соответствующие им тригонометрические характеристики угла sin, cos, tg. Таким образом, самым естественным на клетчатой бумаге будет чертеж, в котором все координаты характеристических точек будут находиться в узловых клетках и их координаты будут целочисленные. В общем случае для тупоугольных и остроугольных треугольников центр описанной окружности и центр окружности девяти точек часто не будут иметь целочисленных координат. Известно, что среди остроугольных и тупоугольных треугольников наиболее предпочтительными для построения на клетчатой бумаге являются треугольники с углом 45 о или 135 о . Но если одна из прилежащих сторон к углу 45 о (или 135 о ) имеет целочисленную длину кратную 2, а другая выражается иррациональным множителем √2, то для данных треугольников удобно построить описанную окружность и окружность девяти точек, так как центр описанной окружности и точка пересечения высот находятся в узлах клеток. Примеры данных треугольников: 1) AB =4, AC =3√2, BC =√10, A =45 o , 2) AB =4, AC =5√2, BC =√26, A =45 o ; 3) AB =4, AC =√2, BC =√26, A =135 o ; 4) AB =6, AC =5√2, BC =√146, A =135 o .Пусть две прилежащие стороны равны a=√2m, b=2n, а третья сторона равна с. Cторону b расположим горизонтально, тогда сторона a=√2m будет являться диагональю квадрата «mxm» . Выразим противолежащую сторону BC=c по обобщенной теореме Пифагора (теореме косинусов) сначала для треугольников с углом 45 о .

c 2 =2m 2 +4n 2 −4m∙n, (1)

Радиус окружности описанной около треугольника в общем случае вычисляется по формуле[1]: R=abc:(4S).

Подставим (1) в (2): R 2 =(2m 2 +4n 2 −4m∙n):2=m 2 +2n 2 −2m∙n=n 2 +(m−n) 2

Аналогично, для треугольника с углом 135 о : R 2 =n 2 +(m+n) 2 (4)

Так как квадрат радиуса в формулах (3), (4) равен сумме двух квадратов целых чисел, то радиус описанной окружности является диагональю прямоугольника с целочисленными сторонами n и m−n (или m+n), т.е. центр описанной окружности расположен в узлах клеток (рис.1).

Рис. 1. Расположение центра описанной окружности

В данном случае одна из высот расположена вертикально, а вторая является диагональю квадрата с целочисленной стороной. Значит, точка пересечения высот (ортоцентр) для данных треугольников расположена в узлах клеток (рис.2).

Рис.2. Нахождение ортоцентра

Итак, центр описанной окружности и ортоцентр имеют целочисленные координаты.

Прямую, соединяющую ортоцентр H с центром вписанной окружности O называют прямой Эйлера OH[3].

Нетрудно найти центр окружности девяти точек (окружности Эйлера), проходящей через середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих вершины с ортоцентром. Центр окружности Эйлера находится в середине отрезка OH[3] и будет иметь либо целочисленные координаты, либо кратные 0,5. Кроме того на отрезке OH будет находиться точка пересечения медиан, причем справедливо равенство: HM:OM=2:1 [3].

Из истории математики известен треугольник со следующими угловыми характеристиками:

A=45 o , B=63 o 26’, C=71 o 34’, tgA=1, tgB=2, tgC=3. Тангенсы углов образуют круговой цикл относительно формул: tgA=(tgB+tgC):(tgB∙tgC−1), tgB=(tgA+tgC):(tgA∙tgC−1), tgC=(tgA+tgB):(tgA∙tgB−1) [2].

Данный треугольник часто использовал английский писатель, математик Чарльз Лютвидж Додгстон, известный под псевдонимом Льюис Кэрролл.

Рассмотрим далее задачу на построение для одного из указанных треугольников.

Задача. Для треугольника ABC со сторонами AB=4, AC=3√2 и углом А=45 о :

а) Построить окружность, описанную около треугольника ABC и вычислить ее радиус.

б) Найти точку пересечения высот и точку пересечения медиан.

в) Построить окружность девяти точек.

а) Условно примем за единицу длину одной клетки тетради, тогда по теореме Пифагора диагональ одной клетки будет равна √2. Отметим точку A и отложим отрезки AB, AC. Отрезок AВ=3√2 является диагональю квадрата «3x3». Находим центр описанной окружности. Для более точного построения окружности отметим еще пять точек, равноудаленных от центра. Окружность можно построить как от руки, так и с помощью циркуля. Радиус описанной окружности является диагональю прямоугольника 2´1, поэтому R 2 =2 2 +1 2 =5, R=√5.

Рис.3. Построение описанной окружности

б) Из трех высот удобнее провести BH2 и СH3. Ортоцентр H, точка пересечения медиан М и центр описанной окружности O лежат на одной прямой, причем HM:OM=2:1.

в) Центр окружности Эйлера находится в середине отрезка OH, радиус равен R:2=√5:2.

Рис.5.Окружность девяти точек

Вывод: Если одна сторона треугольника прилежащая к углу 45 о (или 135 о ) кратна √2, а другая 2, то по узлам клеток удобно построить окружность, описанную около данного треугольника. Кроме того для данного треугольника нетрудно провести окружность девяти точек и найти ее центр. Сторона a√2 проста для построения на клетчатой бумаге поскольку она является диагональю квадрата «аxа».

7.05.2015, 23:22 Каменев Александр Юрьевич Рецензия: Непонятно, в чём заслуга автора при решении этой задачи. Где новизна (научная или практическая)? Требуется уточнение.

9.05.2015, 19:23 Каменев Александр Юрьевич Рецензия: Ответ на рецензию даёт разъяснение. Однако статью следует структурировать согласно требованиям (вводная, основная и заключительная части), после чего рекомендуется к печати.