Конспект урока алгебры " Формулы синуса, косинуса,тангенса и котангенса суммы и разности двух углов.

Конспект урока " Формулы синуса,косинуса,тангенса и котангенса суммы и разности двух углов" предназначен для учащихся 9 класса. В ходе урока закрепляется предыдущая тема-формулы приведения. Проводится обучение самооценке знаний учащихся при помощи лисьа успеха. Учащиеся работают с индивидуальным пособием " Числовой круг". Осуществляется обратная связь. Объясняется новый материал. К уроку прилагается материал для индивидуальной домашней работы по изученным темам тригонометрии.

Тема урока. Формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов.

Цель урока: познакомить учащихся с группой формул тригонометрических функций – формулами сложения.

Обучающая задача: систематизация знаний по данной теме, развитие навыков самостоятельной работы, умения рассуждать.

Развивающая задача: развитие навыков самооценки, развитие грамотной монологической речи, развитие внимания.

Воспитательная задача: воспитание добросовестного отношения к своей работе, ответственности, честности.

Оборудование: рабочие тетради, числовые круги, учебник, таблицы: «Формулы приведения», «Формулы сложения», карточки с ответами, «Карта успеха учащегося».

Организационный момент. Изучая главу: « Тригонометрические выражения и их преобразования» , мы познакомились с различными группами тригонометрических формул и их применением для преобразования выражений. Кто из вас может перечислить эти группы? (Основные тригонометрические тождества, формулы приведения). Сегодня вам предстоит познакомиться с еще одной группой формул, которая называется: «Формулы сложения». Вам примите участие в оценивании своей работы на уроке. Для этого вам понадобится «Карта успеха». Подпишите ее. Слева записаны задания сегодняшнего урока. Справа вы будете ставить плюс за каждое правильно выполненное задание. В конце урока подсчитаем количество плюсов, и каждый из вас сделает вывод об успешности своей работы на уроке. Конечно, эта работа требует честности. Я не сомневаюсь в том, что вы люди исключительно честные и порядочные.

Повторение теоретического материала

А) Работа с пособием «Числовые круги»:

1) Углом какой четверти является угол: а) 36°; б) 340°; в) -270°

2) Какой знак имеет: а) cos 280 ° ; б) sin 179° ; в) tq 500° ; г) ctq 359°

3) Примените свойства четности и определите знака функции: а) sin ( -α ) б) -cos ( - α ); в) tq ( - α ) г)- ctq ( - α )

Актуализация знаний, умений, навыков:

а) Объяснение нового материала. Для начала перечислим все формулы сложения, и дадим их формулировки. Для удобства представим их в виде списка:

Формула синуса суммы - синус суммы двух углов равен сумме произведений синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго.

Синус разности двух углов - синус разности двух углов равен разности произведений синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго.

Формула косинуса суммы - косинус суммы двух углов равен разности произведений косинусов этих углов и синусов этих углов.

Косинус разности - косинус разности двух углов равен сумме произведений косинусов этих углов и синусов этих углов.

Отдавая дань краткости, формулы сложения обычно группируют две в одну, используя знаки плюс минус вида и минус плюс . В таком виде они выглядят так:

Каждая из записанных формул сложения соответствует двум формулам, перечисленным вначале этого пункта. Например, формула отвечает двум формулам: синусу суммы (когда берется верхний знак из ) и синусу разности (когда берется нижний знак из ).

Формулы сложения из таблицы называют соответственно формулами сложения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

В заключение этого пункта отметим, что формулы сложения для синуса и косинуса справедливы для любых углов и . А формулы сложения для тангенса и котангенса справедливы для всех и , для которых определены входящие в них тангенсы и котангенсы.

б) Доказательство формул

Начнем с доказательства формулы косинуса разности . Она нам поможет доказать другие формулы сложения.

Перед доказательством стоит озвучить один не очень очевидный факт, который мы используем. Он заключается в следующем. Возьмем единичную окружность. Пусть точки A1 и A2 получены в результате поворота начальной точки A(1, 0) вокруг точки O на углы и соответственно. Тогда угол между векторами и равен либо , либо , где z – любое целое число. Другими словами, угол между указанными векторами равен либо , либо , либо отличается от этих значений на целое число полных оборотов. Приведем графическую иллюстрацию для наглядности.

Более того, формулы приведения позволяют нам записать следующие результаты и . Таким образом, косинус угла между векторами и равен косинусу угла , то есть, . Теперь можно переходить непосредственно к доказательству формулы косинуса разности.

В силу определений синуса и косинуса, точки A1 и A2 имеют координаты и соответственно. Тогда и (при необходимости смотрите координаты векторов через координаты точек их начала и конца). Длины этих векторов равны единице, так как они равны радиусу единичной окружности.

Теперь запишем скалярное произведение векторов и . С одной стороны имеем , а это же скалярное произведение в координатах имеет вид . Отсюда получаем равенство . Этим доказана формула косинуса разности.

Переходим к доказательству следующей формулы сложения.

Формулу косинуса суммы легко доказать, используя уже доказанную формулу и представление вида . Имеем

последний переход возможен в силу свойств синуса и косинуса противоположных углов.

Из формулы косинуса разности легко получить формулу синуса суммы, достаточно лишь обратиться к формуле приведения вида . Так

в последнем переходе мы использовали формулы приведения.

А вот доказательство формулы синуса разности:

в последнем переходе использовалось свойство синуса и косинуса противоположных углов.

Переходим к доказательству формул сложения для тангенса и котангенса. Для этого достаточно вспомнить, что тангенс – это отношение синуса к косинуса, а котангенс – отношение косинуса к синусу, а также применить доказанные выше формулы.

Так . Теперь разделим числитель и знаменатель полученной дроби на , учитывая что и , имеем

после сокращения дробей получаем .В итоге имеем .

Теперь докажем формулу тангенса разности:

Формулы сложения для котангенса доказываются аналогично формулам сложения для тангенса:

*Спектр применения формул сложения достаточно широк. Мы не ставим целью перечислить все возможные варианты применения формул сложения, здесь мы лишь посмотрим, как применяются эти формулы на практике.

Для начала с помощью одной из формул сложения проверим формулу приведения вида . Воспользуемся формулой синуса суммы. Имеем . Так доказана формула .

Формулы сложения позволяют вычислять точные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса некоторых углов, отличных от основных ( ). Рассмотрим решение примера.

Вычислите точное значение тангенса 15 градусов.

Легко заметить, что угол 15 градусов можно представить как разность 45−30. Тогда формула тангенса разности позволит нам вычислить требуемое значение. По указанной формуле получаем . Теперь подставляем известные значения тангенса, после чего завершаем вычисления:

Формулы сложения широко применяются при преобразовании тригонометрических выражений. Формулы сложения также можно использовать при доказательстве других формул тригонометрии, например, формул двойного угла. Но об этом мы поговорим с вами на следующих уроках

2.Первичное закрепление нового материала

а)Работа у доски:

№ 344 (ребята по одному выходят и решают примеры)

Не забывайте ставить плюсы ,кто правильно решает примеры.

Самостоятельная работа №347а)

На доске ответы, ребята проверяют и ставят плюсы или ничего

Повторение ранее изученного материала.

На доске сверху написана фраза: « Непреодолимого ничего нет» ( слова Суворова) и закрыта листами с написанными правильными ответами. У каждого лежат небольшие карточки с правильными ответами. Кто первым получит число или выражение, написанное у него на карточке, идет к магнитной доске и снимает лист с тем же номером.