Разложение многочленов на множители с помощью формулы квадрата суммы и квадрата разности

Тема: Разложение многочленов на множители с помощью формулы квадрата суммы и квадрата разности.

образовательная: дальнейшее развитие умений раскладывать многочлены на множители с помощью формулы квадрата суммы и квадрата разности;

развивающая: развитие математической речи, логического мышления, привитие интереса к предмету.

воспитательная: воспитание прилежания, самостоятельности, точности, аккуратности.

ХОД УРОКА

2. Мотивация урока.

Ребята, на предыдущих уроках мы поставили задачу – рассмотреть способы разложения многочленов на множители и открыли два способа: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки. Я хочу вас спросить, насколько хорошо, по вашему мнению, вы овладели этими способами»? Сегодня мы будем отрабатывать эти способы или продолжим открытие нового?

Овладели недостаточно. Предлагаем продолжить отработку способов.

Хорошо. Я предлагаю вам доказать свою точку зрения. Согласны?

3. Актуализация опорных знаний.

Что значит разложить многочлен на множители?

Какие способы вам известны?

Представьте в виде степени выражение:

- Представить выражение в виде произведения: к 2 – в 2 ; а 2 – ав; а 2 – 2ав + в 2 .

- Докажите, что 27 2 – 14 2 делится на 13.

- Вычислите р 2 + 6р + 9 при р = -4.

- Найдите все значения а, при которых верно равенство (а – 6) 2 = а – 6.

-Упростите выражение 2 (в- р) 2 - (в – р) (в+ р).

4. Решение упражнений на разложение многочленов на множители с помощью формулы квадрата суммы и квадрата разности

Посмотри на члены многочлена,

Может разглядишь квадрат двучлена.

Это когда а квадрат плюс в квадрат

Рядом с ними должен быть их младший брат.

Выглядит как 2ав и без сомнения

Зовется он удвоенное произведение.

( а + в ) 2 = а 2 + 2ав + в 2

( а - в ) 2 = а 2 - 2ав + в 2

Вставить пропущенные знаки:

М ногочлен - это алгебраическая сумма одночленов. А одночлен - произведение числовых и буквенных множителей. Одночлен обычно считают частным случаем многочлена. Одночлен – это многочлен, в состав которого входит всего один член, и его называют – моном . Слагаемые (одночлены), из которых состоит многочлен, называют членами многочлена: если их два, то говорят, что дан двучлен, или бином , например 2а+в. Если их три, то говорят – трёхчлен или трином , например 2 x 3 – 5 x 2 +с. Говорят, в Африке есть племя, считающее так: 1,2,3, много. Наша терминология применительно к многочленам напоминает африканскую. Если слагаемых, т. е. одночленов больше трёх, то говорят просто многочлен.

О бычно многочлен обозначают буквой «р» – с этой буквы начинается греческое слово « polys » – «многий», «многочисленный», многочлены в математике называют также полиномами . Многочлены можно складывать и умножать так же, как числа. Например, чтобы найти сумму многочленов 2 x 3 – 3 x 2 + 4 x + 5 и x 2 + 3 x – 2, можно записать так…

Чтобы найти произведение тех же многочленов, мы записываем так… И производим сложение и умножение, как с числами.

Решить № 699, 700, 714, 710.

5. Самостоятельная работа.

Решить № 728 (а, б).

6. Итоги урока. Д/з.

Выберите верный ответ:

Выучить п.18, решить № 728 (в. г), 698, 709.

Прежде, чем мы окончим урок, я хочу узнать, что же изменилось или сохранилось в вашем настроении в течение урока. И поэтому попрошу вас ответить на вопросы

Тема: Разложение многочленов на множители с помощью формулы разности квадратов.

образовательная: открытие новых способов разложения на множители, сформировать способность к разложению разности квадратов на множители;

развивающая: обучение распознаванию способов разложения на множители, необходимых для решения каждого конкретного примера;

воспитывающая: воспитание прилежания, самостоятельности, точности, аккуратности

Тех, кто готов работу начать

Улыбки свои я прошу показать!

Все группы готовы? Тогда повторяем,

Систематизируем, изучаем и обобщаем,

2. Мотивация урока.

3. Актуализация опорных знаний.

в) (m-⁭) 2 =m 2 -16m+⁭ 2

На предыдущем уроке вы сочли необходимым продолжить открытие способов разложения многочленов на множители. Я выписала различные алгебраические выражения. Проклассифицируйте их, пожалуйста, по способам разложения.

ac + bc – 2ab – 2bc;

10x 2 + 10xy + 5x + 5y;

1. Представьте в виде квадрата одночлена: а 10 , 4а 2 в 2 ; 0,01в 12 ; 4/9с 10 к 2 ; 0,0009х 2 у 4 ; .

2. Выполните умножение: (в-8)(в+8); (5а 2 -1)(5а 2 +1); (-3с-2р 3 )(2р 3 +3с).

3. Вычислите: 19*21 , 39*42.

4. Решение упражнений на разложение многочленов на множители с помощью формулы разности квадратов.

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Давайте запишем формулу (а-в)(а-в)= а 2 - в 2

-А в каком виде мы ее будем применять? (Меняем местами правую и левую части).

–Итак, имеем а 2 -в 2 = (а-в)(а+в). Это тождество называется формулой разности квадратов.

Прочитайте данное тождество. (Разность квадратов равна произведению разности двух выражений на их сумму)

-Для чего оно может быть применено? (Для быстрого счета, для разложения на множители).

Как найти значение выражения: 35 2 -34 2 ? (Применить правило, формулу разности квадратов).

35 2 -34 2 =(35-34)(35+34)=69.

Рассмотрим такой пример. Разложим на множители выражение 36-а 2 .

36-а 2 = 6 2 - а 2 = (6-а)(6+а).

49х 2 -16у 6 =(7х) 2 -(4у 3 ) 2 =(7х-4у 3 )(7х+4у 3 )

Сформулируйте алгоритм разложения на множители:

1.Представить двучлен в виде разности квадратов.

2.Выполнить разложение по формуле а 2 -в 2 = (а-в)(а+в).

Решить № 695, 696, 708, 706, 718 (б).

Закройте глаза, расслабьте тело,

Представьте – вы птицы, вы вдруг полетели!

Теперь в океане дельфином плывете,

Теперь в саду яблоки спелые рвете.

Налево, направо, вокруг посмотрели,

Открыли глаза, и снова за дело!

6. Самостоятельная работа.

Решить № 693 (1ст.).

1. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:

а) (m + n) 2 + (m – n) 2 ;

б) 2(а – 1) 2 + 3(а – 2) 2 .

2. Выделите полный квадрат из многочлена:

в) (дополнительно) а 2 + 1/2а + 4

7. Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Решить № 694, 707, 708 (г), 718 (а).

- Какую цель мы поставили в начале урока?

-Мы достигли цели?

-Какие знания, полученные ранее, нам позволили «открыть» новое знание?

-Проанализируйте результат своей работы.

Карточка для этапа рефлексии :

1) Данная тема мне понятна.

2) Я хорошо понял правило____________________________________________

3) Я знаю, как пользоваться алгоритмом_____________________________________

4) Я сумею найти разность квадратов ________________________________________________________

5) В самостоятельной работе у меня всё получилось___________________________

6) Я понял алгоритм, но в самостоятельной работе на уроке допустил ошибки (перечислить)________________________________________

7) Я доволен своей работой на уроке________________________________________

Тема: Разложение на множители суммы и разности кубов.

1. Образовательная - научить и закрепить умения и навыки учащихся по данной теме;

2. Развивающая - развитие умений преодолевать трудности при решении тождеств с использованием формул сокращенного умножения;

3. Воспитательная - воспитание у учащихся настойчивости, целеустремленности в учебе.

2. Мотивация урока.

Среди наук из всех главнейшихВажнейшая всего одна.Учите алгебру, она глава наукам,Для жизни очень всем нужна,

Когда достигнешь ты наук высоты,Познаешь цену знаниям своим,Поймешь, что алгебры красоты,Для жизни будут кладом не плохим.

3. Актуализация опорных знаний

1) Записать формулу квадрата разности двух чисел;

Дополнить определение: квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе … (плюс квадрат второго числа).

Записать формулу квадрата суммы двух чисел;

Записать удвоенное произведение чисел 5х и 7у;

Преобразовать выражение (3а – 4с) 2 в многочлен стандартного вида.

Разложите на множители:

4. Изучение нового материала.

Разность кубов двух чисел (выражений) равна произведению разности этих чисел (выражении) на неполный квадрат их суммы;

(а-b)(а 2 +а b + b 2 )= а 3- b 3

Сумма кубов двух чисел (выражений) равна произведению суммы этих чисел (выражений) на неполный квадрат их разности.

(а+b)(а 2 -а b + b 2 )= а 3 + b 3

5. Закрепление нового материала.

Решить № 747, 748, 750, 758 (б), 760(а).

6. Самостоятельная работа.

7. Рефлексия результативности .

Оцени себя и сделай для себя вывод о пользе проведенного на уроке времени.

Оцените урок. На полях в конце записей поставьте оценку.

Я доволен уроком, мне очень понравилось, я всё понял(а).

Мне понравился урок, но в моих знаниях есть пробелы.

Я не доволен уроком, ничего не понял(а) и как решать, я не знаю.

8. Итоги урока. Д/з.

Выучить п. 19. решить № 746, 749, 758 (а), 759 (а).

Тема: Разложение на множители суммы и разности кубов.

1. Образовательная - закрепить умения и навыки учащихся по данной теме;

3. Воспитательная - воспитание у учащихся настойчивости, целеустремленности в учебе.

2. Мотивация урока.

Ребята, наш сегодняшний урок посвящен формулам сокращенного умножения.

Эпиграфом к уроку я выбрала слова Софьи Ковалевской «У математиков существует свой язык - формулы». Формулы сокращенного умножения имеют широкое применение в математике. Их используют при решении уравнений, раскрытии скобок, разложении многочленов на множители, нахождении значений выражений. Наша цель – систематизировать знания по теме «Формулы сокращенного умножения», показать знание этих формул и умение применять их в различных математических ситуациях. А напутствием к уроку нам будут слова академика Александрова: « Мне бы хотелось, чтобы слово «формула» не означало для вас «формальность», чтобы вы творчески подходили к применению их на практике ».

3. Актуализация опорных знаний

Проверка словесной формулировки формул сокращенного умножения

Вопрос. Квадрат суммы двух выражений равен

Квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения

Вопрос.Квадрат разности двух выражений равен

Ответ.Квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения

Разность квадратов двух выражений равна

Ответ.Произведению разности этих выражений и их суммы

Вопрос.Куб суммы двух выражений равен

Ответ.Кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения

Вопрос.Куб разности двух выражений равен

Ответ.Кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения

Сумма кубов двух выражений равна

Произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности

Разность кубов двух выражений равна

Произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы

Работа в парах. У каждой пары имеется лист с заданием № 1. Установите принцип соответствия и заполните таблицу.

Д) (a-b) 3 Е) a 3 +b 3

2) a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

3) a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3

5. Закрепление материала по теме «Формулы сокращенного умножения».

Решить № 753(а, б, в), 754 (а, б, в), 756 (а, б), 777(а), 775 (а, б).

6 . Релаксация: “Поза покоя”

Сесть ближе к краю стула, опереться на спинку, руки свободно положит на колени, ноги слегка расставить. Формула общего покоя произносится медленно, тихим голосом, с длительными паузами.

Все умеют танцевать,

Прыгать, бегать, рисовать,

Но пока не все умеют

Есть у нас игра такая –

Очень лёгкая, простая,

И становится понятно –

7. Самостоятельная работа.

Учащиеся работают в парах, находят ошибки, в пустые клетки вписывают ошибку и правильный вариант.

(4у-3х)(3х+4у)=8у 2 -9х 2

100m 4 -4n 6 =(10m 2 -2n 2 )(10m 2 +2n 2 )

(3x+a) 2 =9x 2 -6ах+a 2

(6a 2 -9c) 2 =36a 4 -108a 2 c+18c 2

8. Итоги урока. Д/з.

Решить № 752, 755, 759 (б), 777 (б).

Тема: Разложение многочленов на множители.

- образовательные: отработать умения и навыки раскладывать многочлены на множители с помощью формул сокращенного умножения;

-развивающие – развитие коммуникативности, навыков само- и взаимоконтроля, математического и общего кругозора, мышления, речи, внимания, памяти, умения анализировать, сравнивать, обобщать;

-воспитательные – формирование положительной мотивации и интереса к математике, потребности в приобретении новых знаний; воспитание активности, умения общаться, сотрудничать и работать в парах, воспитание общей культуры.

2. Мотивация урока.

Тема нашего урока сегодня: «Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращенного умножения». На протяжении многих уроков мы с вами изучали эти формулы и пришли к выводу, что с помощью формул сокращенного умножения можно совершать ряд алгебраических преобразований и делать их нужно очень осмотрительно. Мы еще раз увидим, какая удивительная сила заключается в формулах сокращенного умножения и как они работают при преобразовании выражений.

3. Актуализация опорных знаний, проверка д/з.

Графический диктант на повторение теоретического материала по теме.

Проверку знаний теоретического материала проведём с помощью графического диктанта. Я буду зачитывать утверждения, вам необходимо выяснить: верно ли оно? Если утверждение верное, вы в тетрадях ставите знак ( да V ), если не верно, то черту ( нет ▬)

Многочленом называется сумма одночленов.

Разложить многочлен на множители, значит представить этот многочлен в виде суммы более простых многочленов.

Разность квадратов двух чисел (выражений) равна частному суммы этих чисел (выражений) на их разность.

Одинаковые одночлены или отличающиеся друг от друга только коэффициентами, называют подобными членами многочлена.

В результате деления многочлена на одночлен получается одночлен.

Существует только два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.

Сумма кубов двух чисел (выражений) равна произведению суммы этих чисел (выражений) на полный квадрат их разности.

Цифровой диктант: работа самостоятельная, по вариантам.

В течение трёх минут вам нужно будет определить истинность или ложность пяти равенств. Если равенство верное, то вы ставите цифру 1- истина , если равенство неверное, то цифру 0 – ложь . В результате у вас появляется запись, состоящее из единиц и нулей.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎